Порядок действий при решении биквадратных уравнений

Формулы сокращённого умножения

Примеры:

Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности «самих чисел»

9- квадрат, само число 3, т.к. 3²=9, если х⁴-квадрат, то само число х² (показатель степени делим на 2).

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
• х² -1= (х-1)(х+1)
• х² – 25=(х-5)(х+5)
• 16у⁶ - 4=(4у³-2)(4у³+2)
• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Квадрат суммы: (квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа), при возведении в квадрат каждый множитель возводится в квадрат.
(8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

(3х²+1)²= 9х⁴+6х²+1

Предостережение! (a + b)² не равно (a² + b²)
Квадрат разности:  имейте в виду, что  (a − b)² = (b − a)²
(a − b)² = a² − 2ab + b²

(3х-1)²=9х²- 6х+1

(6у³ – 3)²= 36у⁶ – 36у³+9

- один из способов решения уравнений, используя разложение левой части на множители.

Разложение левой части уравнения на множители.

1) Решим уравнение х² + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

2) –группируем слагаемые так, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель за скобки. Для числовых коэффициентов общий множитель это НОД этих чисел, для буквенных слагаемых это степень с тем же основанием и меньшим показателем. Например: вынести общий множитель их выражения                       7у⁵х- 14х²у³ = 7ху³(у² – 2х)

Пример:

x³ + х² – х² – х – 2 x – 2 = 0;

(x³ + х²) – (х² + х) – 2(x + 1) = 0;

х²(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х² –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

х₁ = –1, х₂ = 2

Ответ: –1; 2.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

1. Ввести новую переменную у=х²

2. Подставить данную переменную в исходное уравнение

3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной

4. После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х² и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример:

х⁴ – 8х² – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х², где у 0; у² – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у₁ = –1; у₂ = 9;

Первое решение отбрасываем (у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

Ответ: х₁ = –3; х₂ = 3.

- ещё один пример решения уравнений разложением левой части на множители:

Шаги решения	Пример
1. Все члены переносятся в левую часть уравнения, в правой должен быть 0	x3−16x=0
2. Левая часть раскладывается на множители.	x(x2−16)=0
3. Каждый множитель приравнивается к 0	x=0 или x2−16=0
4. Решается каждое из полученных уравнений	x=0,  x2=16          x=±4
5. Записывается ответ	x=0, x=−4, x=4

Метод введения новой переменной:

 

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t...)

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

 

2. решается новое уравнение;

 

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

 

Пример:

реши уравнение (2x−21)²−5(2x−21)+4=0.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2 x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

y²−5y+4=0 по теореме Виета; y₁=4,y₂=1.

Возвращаемся к обозначенному:

1) 2x−21=4; 2x=25; x=12,5

2) 2x−21=1; 2x=22; x=11

Ответ: x=12,5; x=11.