Методы решения задач с параметрами

К числу самых простых задач с параметром относятся линейные уравнения и неравенства, а также их системы. Любое линейное уравнение с параметром может быть сведено к виду f (a) ・ x = g (a), а неравенство - к виду f (a) ・ x ∨ g (a) (здесь a —параметр, f (a) и g (a) -

алгебраические выражения, «∨»—один из четырёх возможных знаков неравенств: «>», «<», «>», «>»). Такой вид линейного уравнения (неравенства) с параметром будем называть стандартным. Линейные уравнения и неравенства после приведения к стандартному виду обычно решаются с помощью логического перебора. В некоторых

задачах, прежде чем перейти к исследованию линейного уравнения или неравенства, необходимо сделать замену переменной.

Для того чтобы ответить на вопрос о числе корней уравнения f (a) ・ x = g (a) (и при необходимости найти эти корни), достаточно рассмотреть два случая: 1) f (a)=0; 2) f (a) 0. В первом случае число корней уравнения зависит от g (a): если f (a)=0, а g (a) 0, то корней

нет; если f (a) = 0 и g (a) = 0, уравнение принимает вид 0 ・ x = 0, и его корнем является любое действительное число. Во втором случае уравнение имеет единственный корень

  x = g (a)/ f (a).

Для ответа на вопрос о решениях неравенства f (a) ・ x < g (a) нужно рассмотреть три случая: 1) f (a) > 0; 2) f (a) < 0; 3) f (a) = 0. В первом случае при делении обеих частей неравенства на положительное число f (a) знак неравенства не меняется, и тогда

x < g (a)/ f (a), т. е. решение неравенства – промежуток (-∞; g (a)/ f (a)).

Во втором случае при делении обеих частей неравенства на отрицательное число f (a) знак

неравенства меняется на противоположный, и тогда x >g (a)/ f (a), т. е. решение неравенства – промежуток (g (a)/ f (a);  +∞).  В третьем случае получаем неравенство

 0・ x<g (a), и если g (a) ≤ 0, то решений нет, если же g (a) > 0, то решением неравенства является любое действительное число. Исследование неравенств

f (a) ・ x > g (a),             f (a) ・ x ≤ g (a) и f (a) ・ x ≥ g (a)

 проводится аналогично (каждый раз рассматриваются три случая:

1) f (a) > 0;  2) f (a) < 0;       3) f (a)=0).

При решении линейных уравнений и неравенств с параметрами следует помнить и о графической интерпретации линейного уравнения или неравенства с двумя переменными: при каждом конкретном значении параметра a (для которого хотя бы одно из чисел f (a) или g (a) отлично от нуля) уравнение f (a) x + g (a) y = p (a) является уравнением прямой на плоскости Oxy, а неравенство f (a) x + g (a) y> p (a) задаёт на плоскости Oxy множество всех точек, расположенных выше или ниже (в зависимости от значения параметра) этой прямой. При этом нужно понимать, что при некоторых значениях параметра такое

уравнение или неравенство может либо выполняться для любых x и y,либо не иметь решений вовсе.

Пример 1. Найдите все пары чисел (a; b), для каждой из которых

имеет не менее трёх корней уравнение

(a −2) x + b (x −2) = (2 b − 1) x + (2 x − 1) a.

Решение. Степень переменной x в каждой из частей данного уравнения равна 1. Значит, это уравнение является линейным относительно x, и его можно привести к стандартному виду. Для этого раскроем скобки в обеих частях уравнения и запишем его в виде

(a − 2 + b − 2b + 1 − 2a)x = 2b − a,

Откуда       (a + b + 1)x = a − 2b.

Если a + b + 1  0, уравнение имеет единственный корень x = (a − 2b)/(a + b + 1)..

Если a+b+1=0, но a−2b 0, уравнение не имеет корней. Если a+b+1=0, и a − 2b 0

уравнение принимает вид 0 · x = 0 и его корнем является любое действительное число. Значит, не менее трёх корней уравнение имеет только в последнем случае. Решив систему, получим a = − 2/3, b = − 1/3.

Ответ: (- 2/3; / 1/3)

Пример 2. При каждом значении параметра a решите неравенство

2xa² − (5x + 2)a + 2x + 1 > 0.

Решение. Данное неравенство является линейным относительно переменной x. Раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и приведём его к стандартному виду:

(2a² − 5a + 2)x > 2a − 1.

Корнями квадратного трёхчлена в левой части полученного неравенства являются числа

a =0,5 и a =2, поэтому, разложив этот трёхчлен на линейные множители, придём к неравенству (2a−1)(a−2)x>2a−1. Коэффициент при переменной в левой части неравенства в зависимости от значений параметра может быть равен нулю, положителен или отрицателен. Рассмотрим все возможные случаи.

 Если a = 0,5, то неравенство принимает вид 0 · x > 0 и выполняется при любом значении переменной x.

Если a=2, неравенство принимает вид 0 · x >3 и не выполняется ни при каких значениях x. Если (2a − 1)(a − 2) > 0, т. е. a∈ (−∞; 0,5) ∪ (2; +∞), то, разделив обе части неравенства на

положительное число (2a − 1)(a − 2) и сократив дробь в правой части, получим

x ≥ 1/(a−2), т. е. x ∈ [1/(a – 2); +∞).

Если (2a − 1)(a − 2) < 0, т. е. a∈(0,5;  2), то, разделив обе части неравенства на отрицательное число (2a − 1)(a − 2) и сократив дробь в правой части, получим

x ≤ 1/(a – 2), т. е. x ∈ (−∞; 1/(a – 2) ]

Ответ: [1/(a – 2); +∞) при a ∈ (−∞; 0,5) ∪ (2; +∞);

       (−∞; +∞) при a = 0,5;

       (−∞; 1/(a – 2) ] при a∈(0,5; 2);

       нет решений при a=2.

Задания для самостоятельного решения

1. Для каждого значения параметра a найдите число корней уравнения

9(5x −1)a² − (59x − 55)a + 6(x − 1) = 0.

2. Для каждого значения параметра a найдите число корней уравнения

7(2x −1)a² − (23x − 22)a + 3(x−1) = 0.

3. Для каждого значения параметра a найдите множество решений неравенства

4xa² − (17x + 4)a + 4x + 1 ≥ 0.

б) Для каждого значения параметра a найдите множество решений неравенства

5xa² − (26x +1)a + 5x + 5 ≤ 0.

 

Далее мы с вами рассмотрим довольно редкие методы решения таких заданий. На занятии будут рассмотрены задачи, ключевым признаком каждой из которых является наличие слова «любой» или его производных (как правило, относящихся к параметру, но иногда и к переменной) в формулировке. К некоторым (далеко не ко всем!) из таких задач применима следующая идея решения. Поскольку параметр может принимать любые значения из некоторого множества, можно попытаться подобрать такое его значение из этого множества, что при подстановке этого значения в данное уравнение или неравенство удаётся упростить задачу, сведя её к стандартному уравнению или неравенству. В силу этого будем называть рассматриваемый метод (устоявшейся терминологии нет) методом упрощающего значения.