Определение 15.3
Поверхность, образованная прямыми, пересекающимися в одной точке и проходящими через каждую точку линии - называется конической поверхностью.
II тип задач
(по виду уравнения определяются свойства поверхности)
Основным методом решения таких задач является метод сечений, который заключается в поиске линий пересечений данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Эллипсоид
Определение 15.4.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
. (15.4)
Установим геометрический вид эллипсоида.
Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями параллельными ( число).
Линия сечения определяется системой:
(**) | . |
Исследуем (**).
А) , тогда - эллипс в плоскости , причем самый большой.
Б) , тогда - линия (**) вырождается в точки .
(плоскости касаются эллипсоида)
В) , тогда .
Таким образом, плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу, причем, если , то , поэтому при , получается самый большой эллипс.
|
|
Г) , то - мнимый эллипс, точек пересечения с не .
- полуоси эллипсоида. Если , то эллипсоид является сферой.
Аналогично, если или .
Однополостной гиперболоид
Определение 15.5
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
. (15.5)
Установим его геометрический вид.
Рассмотрим сечения с координатными плоскостями:
и (В сечения получаются гиперболы)
Также рассмотрим сечения поверхности плоскостями :
.
А) , - самый маленький эллипс.
Б) , .
В) , , , то .
Г) , , то .
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостной гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления. - полуоси (чтобы изобразить , следует построить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол).