Арифметические игры и математические применения

Ранее упоминалась важная роль игровой деятельности в обучении младших школьников и, в частности, место игры в курсе раннего обучения информатике. Поэтому для весьма трудоемкого и непростого формирования вычислительных навыков младших школьников полезно наполнить эту часть математического (или, точнее, информатико-математического) курса достаточным количеством компьютерных программ-игр, которые могли за числовым содержанием нести полезную учебную и пропедевтическую нагрузку. С этой целью часть программ раздела «Игры» в программно-методической системе Роботландия представлены играми с числами и арифметическими операциями.

Такова игра Баше — классический алгоритмический этюд. Играя в эту игру, приходится вычислять (устно) разности между количествами объектов. Многочисленны в школьной математике задачи на взвешивания для определения фальшивых монет. Один вариант такой игры (только одна монета в множестве монет является фальшивой, и она легче остальных) включен в Роботландию в виде программы Пиастры. Цепочка простых арифметических операций и сравнений (выполняемых мысленно) составляет основу для принятия решений в этой игре. Насыщена сравнениями двузначных чисел игра Максит. Здесь при каждом ходе должны быть выполнены серии числовых сравнений с целью выбора оптимального решения. Часть вычислительной работы (отслеживание состояния счетчика) оставляет за собой компьютер, однако на долю пользователя-ученика выпадают хотя и не сложные, но многочисленные арифметические операции.

Еще более широко представлены вычислительные игры в программно-методической системе Хиты Роботландии. И это не удивительно: ведь основная ориентация этой открытой системы — на предметные использования компьютеров в школе (Роботландия входит в эту систему в качестве одного из компонентов). Одна из страниц в мониторе Хитов называется Считалка. На странице Считалки расположен, в частности, и Плюсик. В пакете Считалка заслуживают внимания (с точки зрения обсуждаемой сегодня темы) две программы. У одной из них не претенциозное название — Устный счет (и она оправдывает свое название), но возможности этой программы широки: она представляет, по существу, пакет арифметических игр, выбор того или иного варианта игры делает пользователь-ученик (возможно, по указанию учителя).

На экране — множество карточек, покрывающих прямоугольную область на экране. В ней п строк и п столбцов (п меняется, в зависимости от варианта задачи, от 4 до 10). Карточки пронумерованы числами от 1 до п х п. Несколько случайно выбранных компьютером номеров (при п = 4 — три номера, при п = 6 - 5 номеров, при п = 10 - 10 номеров) выделены яркой подсветкой. Возможное исходное состояние для таблицы при п = 4 показано на рисунке, который приведен на следующей странице:

Игрок делает ход, составляя выражение — сумму или разность (вид выражения зависит от условий задачи, выбираемых в начале работы программы) — из чисел, написанных на карточках. При этом, по крайней мере, один из трех элементов выражения должен быть «выделенным». Например, для приведенного рисунка с указанными выделениями в числе допустимых могут быть выражения:

2 + 3 = 5; 5 + 9 = 14; 2 + 12 = 14.

В первой и второй суммах — по одному выделенному элементу, в третьем — все три элемента выделены. Если выражение составлено правильно, то карточки с числами, образующими это выражение, убираются с экрана, открывая спрятанную под ними картинку. Понятно, что с каждым «правильным» выражением количество выделенных чисел уменьшается. Однако по исчерпании всех выделенных чисел программа создает (снова случайно) очередную тройку выделенных чисел. Если выражение составлено неправильно (либо левая часть выражения не равна правой, либо оба операнда и результат являются не выделенными числами), компьютер сообщает «Не могу».

Из-за ограничений на правильность выражений все карточки убрать с экрана не удается. Выигрывает тот, кому удалось убрать наибольшее количество карточек. Хотя один кон игры проводит один ученик, в такой игре можно устраивать разные коллективные соревнования и турниры — на наименьшее количество оставшихся карточек или на время.

Вторая программа пакета Считалка интересна тем, что наглядно демонстрирует, как старые и давно забытые алгоритмы возрождаются вновь при новых дидактических инструментах. Речь идет о программе Умножайка, моделирующей умножение многозначных чисел по старинному методу, предложенному великим математиком древней Средней Азии — Аль-Хорезми. Для каждого произведения создается таблица с числом столбцов, равным числу разрядов первого множителя, и числом строк, совпадающим с числом разрядов второго множителя. Так, для произведения 327*3456 строят таблицу, которую заполняют по правилам знакомой младшим школьникам таблицы умножения:

Теперь начинаются подиагональные сложения клеток, начиная с правого нижнего угла. При этом под нижней клеткой диагонали (ниже таблицы) записывается младший разряд диагональной суммы, а старший разряд переносится на следующее суммирование:

Аль-Хорезми использовал этот метод в своей педагогической работе, обучая алгоритмам вычислений немногочисленных (по нынешним временам) студентов. Ян Амос Коменский, введя классно-урочную систему, поставил метод «на поток»: прежний метод (Аль-Хорезми) требовал для каждого вычисления отдельный лист бумаги; при стремительно растущем количестве учеников пришлось изобретать иные алгоритмы, экономящие бумажные ресурсы. Так вошел в школу тот привычный сейчас метод умножения многозначных чисел, где числа надо перемножать, формируя суммируемые строки и смещая одну строку относительно другой влево на один разряд.

Персональный компьютер может вернуть прежнему методу его силу: ведь расходы на необходимую при промежуточных расчетах память незначительны при нынешних объемах запоминающих устройств. Значит, в школьных кабинетах информатики можно вычислять точно так же, как это делал десять веков назад великий Аль-Хорезми. А если учесть, что в программе реализованы несколько режимов работы (ручной, полуавтоматический и автоматический), то программа Умножайка становится не только практическим вычислителем, но и хорошим методическим инструментом. Рассказывая об алгоритме Аль-Хорезми, нельзя не вспомнить выдающегося советского ученого, математика, педагога, методиста, историка Наума Яковлевича Виленкина, которому и принадлежит идея возрождения метода Аль-Хорезми.

Мы рекомендуем учителю математики, имеющему доступ в школьный кабинет информатики и возможность работать с исполнителем Умножайка, попробовать древнюю методику обучения умножению многозначных чисел в современных условиях.