Следствие из формулы Грина

 

Если , тогда справедливы 3 утверждения:

1. , причем замкнутый контур к полностью находится внутри области D.

2.  не зависит от формы кривой АВ, если и сама кривая, и точки АВ полностью находятся в области D, а зависит только от положения точек АВ.

3. Если подынтегральное выражение является полным дифференциалом , тогда можно восстановить саму функцию.

, с – произвольная постоянная.

Примеры.

Рассмотрим 2-ое следствие.

Вычислить  где кривая L соединяет точки О и А.

L: O(0;0), A().

P=x+y; ; Q=x-y;    .

1)Пусть L – прямая ОА.

ОА: y=x, , .

.

2) Пусть кривая L –ломанная ОАВ, В(π;0).

ОВ: y=0, .

.

BA: x=π, .

.

.

3) Пусть кривая L – парабола OA:

Рассмотрим третье следствие.

Восстановить функцию .

; . ; .

M₀(1;1), M(X;Y)

1) .

2) .

.

;

Пусть .

.

 

Применение криволинейного интеграла 2-го рода.

1) Вычисление работы по перемещению точки вдоль кривой L под действием силы .

.

2) Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией L

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

, P=-y, Q=x.

1) .

.

2) .

.

3) .

.

.

Пример. Вычислить работу силы  при перемещении точки по контуру эллипса , лежащего в 1-ой четверти.

.

 

АВ: Запишем параметрически уравнение эллипса:

, . .