Алгоритм нахождения экстремумов функции и интервалов ее монотонности с помощью первой производной

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f ' (x).

3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f ' (x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f ' (x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x ₀ есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f ' (x)<0, от промежутка, в котором f ' (x)>0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x ₀, знак производной не меняется, то в точке x ₀ функция экстремума не имеет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

7. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

Общая схема исследования функции

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

2. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

3. Найти точки пересечения с осями координат.

4. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

5. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

7. Построить график функции.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.