Тема: Расчет сопряжений с применением производной в инженерной графике.
Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».
Задание: Решить задачу на физический смысл производной:
1. | Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с. | 4. | Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? |
2. | Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с. | 5. | Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с. |
3. | Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с. | 6. | Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с. |
Задание: Решить задачу на геометрический смысл производной:
|
|
7. | Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. | 10. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите . |
8. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. | 11. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. |
9. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. | 12. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите . |
Задание: Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции:
13. | у = 6х- в его точке с абсциссой равной -1. | 16. | в его точке с абсциссой равной 4. |
14. | у = 4-х2 в его точке с абсциссой равной -6. | 17. | f (x)=(x −6)(x 2+6 x +36) в его точке с абсциссой равной 1. |
15. | у = - в его точке с абсциссой равной -2. | 18. | его точке с абсциссой равной 3. |
Задание: На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.:
|
|
19. | 22. | ||
20. | 23. | ||
21. | 24. |
Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:
25. | f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2; [– 2; 2] | 28. | f (x) = 9 – 6x2 – x3 [– 4; 2]; |
26. | y = 9x + 3x2 – x3 ; [– 2; 2] | 29. | y = 4 – 9х + 3x2 + x3 [– 2; 2] |
27. | y = 5 + x4 – 8x [– 3; 2] | 30. | f(х) =2х3 + 3х2 – 36х [– 4; 3] |
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Геометрический смысл производной:
Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:
Физический смысл производной:
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:
1.Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: Если на промежутке производная функции >0, то функция возрастает на этом промежутке. Если на промежутке производная функции <0, то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции. В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-". В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".
6. Находим значение функции в концах отрезка, затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции.
Содержание отчета
1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
2. Цель работы
3. Задание
4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
5. Ответы на контрольные вопросы
6. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Запишите алгоритм исследования графика функции.
2. Дайте определение касательной к графику функции.
3. Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.
4. Запишите алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы.
5. Запишите алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [ a; в ].