Вибірковість фільтра (ступінь розмежування смуг пропускання і непропускання) визначається крутизною характеристики робочого затухання. В ідеальному випадку характеристика робочого затухання, наприклад для ФНЧ має вигляд
Із робочим затуханням пов’язана робоча амплітудно-частотна характеристика (АЧХ): =exp . Очевидно, АЧХ ідеального ФНЧ має вигляд
|
Реальні фільтри (тобто фільтри, які складаються з реальних елементів) мають характеристики робочого затухання та АЧХ, які відрізняються від ідеальних.
Вимоги до електричних характеристик фільтрів задаються у вигляді обмежень, які накладаються на ці характеристики. Так робоче затухання в смузі пропускання не повинно перевищувати деякого максимально припустимого значення Арmax, а в смузі непропускання не повинно бути нижче деякого мінімально припустимого значення Apmin.
Таким чином, знаючи вимоги до Ар, можна перерахувати ці вимоги до АЧХ,
де .
Характеристики фільтрів, які проектуються, повинні вкладатись в ці вимоги.
|
|
Окрім вимог до частотної залежності робочого затухання, можуть також накладатися вимоги до фазочастотної характеристики фільтра (припустимі відхилення від лінійного закону), нелінійних спотворень і до інших характеристик та параметрів фільтра.
Ідеальні частотні характеристики фільтра не можуть бути реалізовані, реальні частотні характеристики можуть лише наближатися до них з тим чи іншим ступенем точності залежно від складності схеми фільтра.
Електричні фільтри із передавальною функцією вигляду
, (1)
називаються поліномінальними. Амплітудно-частотна характеристика таких фільтрів має вигляд
. (2)
Отже, робоче затухання
(3)
може при належному виборі степеня полінома (порядка фільтра) і коефіцієнта dk задовольняти заданим вимогам.
Серед поліномінальних фільтрів найбільш широке застосування знайшли фільтри Баттерворта й Чебишева.
Відмітимо, що в теорії фільтрів користуються нормованою частотою Ω = .
1.2 Фільтри Баттерворта
Якщо в (2) і (3) прийняти коефіцієнти d1 = d2 =...= dm-1 = 0, dm = 1,то з урахуванням нормованої частоти отримаємо:
, (4)
. (5)
Поліноми Вm(Ω) = Ωm відомі під назвою поліномів Баттерворта.
Iз (4) і (5) слідує, що на частоті Ω = 0 значення квадрата АЧХ дорівнює одиниці, а робочого затухання – нулю.
Зі зростанням частоти квадрат АЧХ фільтра Баттерворта зменшується, а робоче затухання плавно зростає до нескінченності. Таким чином, вирази (4) і (5) наближено відображають характеристики ідеального фільтра.
Для того, щоб ці характеристики відповідали вимогам до фільтра, необхідно мати робоче затухання (5) у смузі пропускання менше Арmax, а в смузі непропускання більше Арmin. Першу умову можна задовольнити, якщо на граничній частоті (Ω = 1) покласти рівність: тоді 1 + d0 = exp ; d0 = e2Apmax - 1.
|
|
Величина Е= називається коефіцієнтом нерівномірності затухання в смузі пропускання фільтра, де Армах вимірюється в неперах, якщо в децибелах, то справедливе співвідношення Е= .
З урахуванням уведених позначень:
, (6)
[Hp], (7)
Ар = 10lg (1+ E 2 Ω 2m) [Дб]. (8)
Наведемо графічні залежності отриманих функцій (рис. 1):
Відмітимо, що крутизна частотних характеристик залежить від ступеня m, тобто чим більше m, тим вище крутизна характеристик.
Отже, для задоволення вимог в смузі непропускання, необхідно вибрати відповідний порядок фільтра- m, який визначається визначити за умови:
Ap(Ω3) ≥ Apmin; e2Apmin; ≥ (e2Apmin - 1).
Після логарифмування отримаємо 2m lnΩ3 ≥ ln .
Остаточно маємо
, (9)
. (10)
Передавальну функцію фільтра Баттерворта можна отримати з (6), якщо покласти j Ω = р, тоді
|Hp(p)|2 = Hp(p)Hp(-p) = . (11)
Визначимо корені знаменника, тобто полюси функції Нр(р)*Нр(-р) окремо для парних і непарних значень m.
Для парних m: 1 - E 2 p 2m = 0 i p k = , k = 1, 2,…, 2 m.
Оскільки -1 = exp[j(2 k - 1)π] = cos (2 k - 1)π + j sin (2 k - 1)π, то
p k = .
Для непарних m p k = , k = 1, 2,…, 2 m – 1.
Тоді вираз (11) набуває вигляду:
Hp(p)*Hp(-p) = .
Вибравши полюси, розташовані в лівій напівплощині комплексної змінної р, отримаємо передавальну функцію, що фізично реалізується фільтром Баттерворта виду:
Hp(p)=H , (12)
де Н = .
Використовуючи позначення Bm(Ω) = Ω2m -полінома Баттерворта, можна представити частотні характеристики фільтра Баттерворта в наступній формі:
|Hp(jΩ)|2 = , (13)
Ap(Ω) = [Hп], (14)
Ap(Ω) = 10lg [1+E2B2m(Ω)] [Дб]. (15)
Фільтри Баттерворта називають також фільтрами із максимально плоскими характеристиками затуханням в смузі пропускання.
1.3 Фільтри Чебишева
Формули типу (13)-(15) за своєю структурою є універсальними. Достатньо замінити в них поліном Баттерворта на деякий інший поліном, і можна отримати новий вид фільтра. Наприклад, якщо замість полінома Вm(Ω) використати так званий поліном Чебишева тоді отримаємо:
; (16)
Ар(Ω) = [Hп]; (17)
Ар(Ω) = 10lg [Дб]. (18)
Тm(Ω) – поліном Чебишева степеня m, Е – коефіцієнт нерівномірності в смузі пропускання фільтра. Фільтри із характеристиками (16) – (18) називаються фільтрами Чебишева. Розглянемо шість поліномів Чебишева:
Т0(Ω) = 1, Т1(Ω) = Ω, Т2(Ω) = 2Ω2 – 1, Т3(Ω) = 4Ω3-3Ω,
Т4(Ω) = 8Ω4 - 8Ω2+1, Т5(Ω) = 16Ω5 - 20Ω3 + 5Ω.
Будь-який поліном Чебишева при m ≥ 2 може бути розрахований за рекурентною формулою: Tm(Ω) = 2ΩTm-1(Ω) – Tm-2(Ω), тому співвідношення (16) – (18) задовольняють загальним виразом (1) – (3) характеристик поліноміальних фільтрів.
Існує єдина тригонометрична форма запису поліномів Чебишева в інтервалі –1 £ Ω £ 1:
Tm(Ω) = cos(m· arсcosΩ). (19)
Дійсно, Т0(Ω) = cos(0arсcosΩ) = 1, T1(Ω) = cos(1arсcosΩ) = Ω,
T2(Ω) = 2cos(2arсcosΩ) – 1 = 2Ω2 – 1. За межами інтервалу –1 £ Ω £ 1 полiноми Tm(Ω) також представляються в тригонометричній формі
Tm(Ω) = ch(m· arcchΩ). (20)
Аналiз поведінки полiномiв Чебишева показує, що в iнтервалi –1 £ Ω £ 1 кут θ = arccosΩ змінюється вiд –π (при Ω = –1) до нуля (при Ω = +1) і m + 1 разiв досягає значень рiвних “+1” або “-1”. Зовнi iнтервалу –1 £ Ω £ 1 Tm(Ω) відповідно до формули (20) монотонно зростає.
|
|
Згiдно iз (18) робоче затухання Ар(Ω) = 0 фiльтра Чебишева на тих частотах, де полiном Tm(Ω) перетворюється в нуль. На частотах, на яких Tm(Ω) = ±1 робоче затухання досягає величини
Ар = 10lg(1 + E2) = 10lg(1 + 100,1Apmax - 1) = Apmax.
Зі зростанням значень полiнома Tm(Ω) на частотах Ω > 1 робоче затухання Ар(Ω) також монотонно зростає.
На рисунку 2 приведений графiк робочого затухання фільтра Чебишева четвертого порядку.
Фiльтри Чебишева називають також фiльтрами iз рiвнохвильовими характеристиками загасання в смузi пропускання.
Для того щоб характеристики фiльтра вiдповiдали вимогам в смузi непропускання, необхiдно вибрати порядок фiльтра m з умови
|Нр exp[-2Apmin] ураховуючи (20), отримаємо при Ω = Ω3
m ≥ arch /arch Ω3 [Hп]; (21)
m ≥ arch /arch Ω3 [Дб]. (22)
Порiвнюючи частотнi характеристики фiльтрiв Баттерворта і Чебишева, можна бачити, що поліноми Чебишева є поліномами найкращого наближення.
Це означає, що при однакових значеннях m, фільтр Чебишева в смузі непропускання має бiльше затухання, нiж фiльтр Баттерворта. Однак характеристика робочого затухання фiльтра Баттерворта в смузi пропускання має монотонний характер і тому легше пiддається коректуванню для усунення спотворень передаваних сигналів.
Вибір типу полiномiнальних фільтрів визначається конкретними умовами їх застосування в радіотехнічних пристроях.
Для отримання передавальної функцiї фiльтра Чебишева замiнимо оператор j Ω на оператор р і перейдемо вiд функції |Нр(jΩ)|2 до функції
|Нр(р)|2=Hp(p)*Hp(-p)= .
Ураховуючи (19), знайдемо полюси функції |Нр(р)|2, розв’язавши рiвняння
E2cos2(m*arccos(p/j)) + 1 = 0. (23)
p k=shγ sin , k = 1, 2, …, m (24)
де .
З коренів у лівій напiвплощинi складаються множники типу (р-рк) і за ними будується передавальна функцiя фiльтра Чебишева:
Hp(p) = H ,
де Н = .