Решение типовых задач

Ч А С Т Ь II

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

 

ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Площадь в прямоугольных координатах. Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f (x) [ f (x) ³ 0 ], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках x = a и x = b  и отрезком оси абсцисс a £ x £ b ( рис. 1), определяется формулой

.                             (1.1)

В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными кривыми y = f ₁(x) и y = f₂ (x), , двумя вертикалями x = a и x = b, где a £ x £ b  (рис. 2), то будем иметь:

.                   (1.2)

 

 

  Рис. 1                               Рис. 2                          Рис. 3

 

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной пара-метрически. Если кривая задана уравнением в параметрической форме x = j (t), y = y (t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими x = a и x = b, и отрезком оси OX, выражается интегралом

,                        (1.3)

где t ₁ и t ₂ определяются из уравнений

а = j (t ₁) и b = j (t ₂) (y (t)³ 0  на отрезке [ t ₁; t ₂]).

Площадь в полярных координатах. Если кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (j), то площадь сектора АОВ (рис. 3), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениями j₁ = a и
j₂ = b выразится интегралом

.                          (1.4)

 

ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина l дуги кривой y = f (x), содержащейся между двумя точками с абсциссами х = а и х = b, равна

.                            (2.1)

Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x =j (t), y =y (t), то длина дуги l  кривой равна

,                         (2.2)

 

где t ₁ и t ₂ – значения параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах. Если кривая задана уравнением r = f (j)  в полярных координатах, то длина дуги l  равна

,                        (2.3)

где a и  b – значения полярного угла в крайних точках дуги.

ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x) и прямыми y = 0, x = a, x = b, вращается вокруг оси Ох  (рис. 4), то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.                               (3.1)

 Рис. 4

 

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x) и прямыми y = 0, x = a, x = b, вращается вокруг оси Оy, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.                             (3.2)

Объем тела, образованного вращением около оси Оу фигуры, ограниченной кривой   x = g (y) и прямыми x = 0, y = c, y = d, можно определить по формуле

.                                  (3.3)

Если фигура, ограниченная кривыми y ₁ = f ₁ (x) и y ₂ = f ₂ (x)
[0 £ f ₁ (x) £ f ₂ (x)] и прямыми x = a, x = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.                          (3.4)

Если кривая задана в иной форме (параметрической, в полярных координатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

 

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Найти площадь эллипса (рис. 5): .

Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении x = a cos t  сначала   x = 0, затем x = a, получим пределы интегрирования   t ₁ =p/2 и t ₂ = 0. Используя формулу (1.3), получим:

и, следовательно, S = p a b.

 

              Рис. 5                                                     Рис. 6

 

Задача 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой r = 2соs2j.

Решение. Ввиду симметрии (рис. 6) достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Четвертой части искомой площади соответствует изменение угла j от 0 до p/4, используя формулу (1.4), получим:

 и, следовательно, S = 2.

Задача 3. Найти длину дуги всей кривой (рис. 7). Вся кривая описывается точкой при изменении j от 0 до 3p.

Решение. Так как кривая задана в полярных координатах будем использовать формулу (2.3). Имеем , поэтому длина всей дуги кривой

 

Задача 4. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 8) .

Решение. Так как кривая задана уравнениями в параметрической форме, будем использовать формулу (2.2). Пределы интегрирования t ₁ = 0 и t ₂ = 2p соответствуют крайним точкам арки циклоиды (y = 0). Имеем = a (1 – cos t) и = a sin t.

.

 

                                                 у

                               х

 

                                                                                                 х

                                                     О                          2pа

 

                

             Рис. 7                                               Рис. 8

 

Задача 5. Найти объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y = sin x и отрезком  0 £ x £ p вокруг: a) оси Ox и b) оси Oy.

Решение. Воспользуемся формулами (3.1) и (3.2) соответственно.