2020-10-10
149
а) аналитический способ – состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действие нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующие данному значению аргумента.
Пример:
1) у = х2, область определения – числовая прямая (- ∞; + ∞), а множество значений – полупрямая [0, + ∞)
2) у = √1 – х2
Область определения [-1; 1], а
Множество значений – отрезок [0; 1]
б) табличный способ – функция задаётся с помощью таблицы(с помощью можно задать функцию только при конечном числе значения аргумента).
в) графический способ – используют в практике физический измерений, когда соответствие между переменными х и у задаётся с помощью графика. Во многих случаях графики чертят самопишущие приборы.
Определение 2
Если на некотором множестве Х определена функция Z = φ(x) со множествам значений Z, а на множестве Z – функция y = ƒ(Z), то функция y = ƒ[φ(x)] называется сложной функцией от х, а переменная Z – промежуточной переменной сложной функции = у = sin x2 – сложная функция, определённая на всей числовой прямой, т.к у = ƒ(Z) = sin Z, Z = φ(x) = x2.
|
|
|
Определение 3
Пусть Х и У – некоторые множества и пусть задана функция ƒ, т.е множество пар чисел (х; у) (х € Х, у € У), в котором каждое число х входит в одну только одну пару, а каждое число у – по крайней мере в одну пару. Если каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией φ к функции f. (х = φ(у)
Пример: у = х – обратная функция х = у
у = х2 – обратная функция х = ±√у, а для у = sin x обратная функция – х = arc sin y
Из определения следует что если обратная функция однозначна, т.е является функцией в обычном смысле, то множество значений У функции f областью определения обратной функции φ, а область определения Х функции ƒ- множеством значений обратной функции φ.
Свойства функции:
1) Функция у = (x) называется чётной, если ƒ(-x) = ƒ(x) для любого х из области определения функции.
2) Функция у = ƒ(x) называется нечётной, если ƒ(-x) = -ƒ(x), для любого х из области определения функции.
Чётные функции – у = х2, у = х2 + 3, у = -3х2 + 1, у = |x|, у = 4.
Нечётные функции – у = х3, у = х3 + х, у = 
3) Функция у = ƒ(x) – называется возрастающей в некотором промежутке, если для любых двух значений х из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большое значение функции, т. е из условий х1 < х2 => что ƒ(x1) < ƒ(x2) для любых х1 и х2 из данного промежутка (рис. 1).
|
|
|
4) функция у = f(x) называется убывающей, если для любых двух значений х из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е если x1 < x2 =>, что ƒ(x1) > ƒ(x2) для любыхх1 и х2 … (рис 2)
5) функцию f называют периодической с периодами Т ≠ 0, если для любого из области определения f значение этой функции в точки х и х + Т равны, т.е ƒ(x + T) = ƒ(x) (sinx, cosx с периодом 2π; tg, сot с периодом π)
Предел функции при х → xо
Пусть функция f(x) определена на некоторые промежутки Х и пусть точка хо 
Х или хо 
Х. Возьмём из Х последовательность точек, отличных от хо
х1, х2, х3, …, хn, …, (1)
сходящеюся к хо. Значение функции в точках этой последовательности токже образуют числовую последовательность ƒ(х1), ƒ(х2), ƒ(х3), …, ƒ(хn), …, (2)
и можно говорить о существовании её предела.
Определение 1
Число А называется пределом функции ƒ(х) в точке х = хо (или при х → хо), если для любой сходящейся к хо последовательности (1) значений аргумента х, отличных от хо, соответствующая последовательность (2) значении функции сходится к числу А.
lim ƒ(х) = А
х → хо
Функция ƒ(х) может иметь в (.)хо только один предел.
Пример 1:
Функция ƒ(х) = С = const имеет предел в каждой точке хо числовой прямой, равный С. В самом деле, если (1) – любая последовательность, сходящейся к хо, то последовательность (2) имеет вид С, С…, С…, т.е ƒ(хn) = C 
ƒ(хn) → C при n → 
или lim ƒ(х) = С
х → хо
Пример 2:
Функция ƒ(х) = 
имеет в (.) х = 0, предел равный 1.
Действительно, возьмём любую последовательность значений аргумента х, сходящегося к нулю, т.е 
и хn ≠ 0, тогда в силу теорем:
1) 
2) 
3) 
Определение 2:
Число А называется правым(левым) пределом функции ƒ(х) в (.)хо, если для любой сходятся к хо последовательности (1), элементы хn которой больше(меньше) хо, соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Теорема (о единственности предела):
Функция ƒ(х) имеет в точке хо предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый предел и они равны. В том случае предел функции равен односторонним пределам.
· Доказательство:
Пусть 
Тогда, согласно определению предела функция слева и справа, для любого Е > 0 существуют числа б1 > 0 и б2 > 0 так что для хо – б1 < х < хо, и для всех х, удовлетворяющих неравенством хо < х < хо + б2, выполняется неравенство |ƒ(x) – A| < E
Возьмём б = min {б1,б2}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству |x – xo| < б, х ≠ хо, выполняется неравенство |ƒ(x) – A| < E. А это, согласно определению предела (2), и означает, что 
.
Теоремы о пределах:
Теорема 1.
Если существуют пределы функции ƒ(х) и φ(х), то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функции ƒ(х) и φ(х)
Теорема 2.
Если существуют пределы функции ƒ(х) и φ(х) при х → хо, то существуют также и предел их произведения, равный процветанию пределов функции ƒ(х) и φ(х)
Теорема 3.
Если существуют пределы функции ƒ(х) и φ(х) при х → хо и предел функции φ(х) отличен от нуля, то существует также предел отношение ƒ(х) | φ(х), равный отношению пределов функции ƒ(х) и φ(х)
Следствия:
1. постоянный множитель можно вынести за знак предел:
2. Если n – натуральное число, то:
3. Предел многочлена(целой рациональной функции):
Р(х) = хоxn + x1xn-1 + x2xn-2 + … + xn-1x + xn т.е. Lim Р(х) = Р(хо) при х → хо
x®x0
|
|
|
равен значению этого множителя при х = хо
4. Предел дробно – рациональной функции;
R(x) = 
При x→ x0 равен значению этой функции
при x = x0, если x 
принадлежит области определения функции, т. е. 
Два замечательных предела:
2. 
Понятие непрерывности функции:
Пусть на некотором промежутке X определена функция ƒ(х) и (.)хо принадлежит этому промежутку.
Определение 1.
Функция ƒ(х) называется непрерывной, если предел функции и её значение в этой (.) равны, т.е. 
(1)
Т.к. 
, то соотношение (1) можно записать в следующем виде: 
(для непрерывной функции знаки функции и предела можно переставлять)
Определение 2.
Функция ƒ(х) называется непрерывной в (.)хо, если для Е > 0 любого существует б > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x – xo| < б, выполняется неравенство |ƒ(х) - ƒ(хo)| < E
Определение
Точка xо называется точкой разрыва функци ƒ(х), если ƒ(х) в точке хо не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв первого рода.
Точка хо называется точкой разрыва первого рода функции ƒ(х), если в этой точке функция ƒ(х) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы:
Разрыв второго рода.
Точка хо называется точкой разрыва второго рода функции ƒ(х), если в этой точке функция ƒ(х) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Д/З
Найти и записать в тетрадь 5-10 примеров на вычисление предела функции.
