Свойства системы уравнений

Матрица традиционно называется матрицей жесткости (потому что МКЭ создавали для задач механики), но в данном случае это матрица проводимости . Эта матрица симметричная:

В каждой строке данной матрицы самый большой коэффициент находится на главной диагонали, и он положителен. Остальные коэффициенты отрицательны и меньше по абсолютной величине. Сумма коэффициентов в каждой строке равна нулю.

Действительно, если потенциалы смежных ячеек равны

, (12.8)

то все токи будут равны нулю. Подставим (12.8) в уравнение (12.5)

откуда

Таким образом, матрица является положительно определенной. Это обеспечивает устойчивость решения системы методом Гаусса.

Матрица разреженная, в ней много нулевых коэффициентов: только если узлы и - смежные. Если удачно пронумеровать узлы, то ненулевые элементы соберутся в ленту около главной диагонали (получим ленточную матрицу). Остальные элементы можно не хранить, т. е. экономить память компьютера. Кроме того, вследствие симметрии матрицы достаточно хранить только половину ленты.

Очень важным моментом является однородность системы уравнений (в правой части - нули). Это значит, что она всегда имеет решение . Кроме того, мы установили, что также будет решением при любом . Такие решения называются тривиальными.

Возможно, система имеет также нетривиальное решение с разными в разных узлах. В любом случае ясно, что у нее бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственное решение, необходимо задать граничные условия 1-го рода – значение неизвестного хотя бы в одном узле . Для этого нужно исключить из системы одно уравнение (поскольку значение в одном из узлов известно) или заменить его (что то же самое) на (см. рис. 12.2). После этой процедуры система перестает быть однородной (в остальных уравнениях появится правая часть ). Если других условий нет, то решение системы уравнений даст во всех узлах одинаковый потенциал .