Определение №1. Последовательность называется возрастающей, если каждый её элемент, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .
Определение №2. Последовательность называется убывающей, если каждый её элемент, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .
Определение №3. Последовательность называется невозрастающей, если каждый её элемент, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .
Определение№4. Последовательность называется неубывающей, если каждый её элемент, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .
Определение №5. Убывающие, возрастающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называются монотонными. А возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Примеры: а) :1; ; ;…; ;… – убывающая, ограниченная (, ).
б) 1; 1; ; ; ; ;…; ; ;… – невозрастающая, ограниченная (, ).
в) 1; 2; 3;…; n;… – возрастающая, ограниченная снизу и неограниченная сверху (, ).
|
|
г) 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4;…; n; n;… – неубывающая, ограниченная снизу и неограниченная сверху (, ).
д) : 1; 0; -1; 0; 1; 0; -1;… – ограниченная (, ), не является монотонной.
Замечание: 1.Монотонные последовательности ограниченны, по крайней мере, с одной стороны
а)неубывающие – ограничены снизу, так как и , ;
б)невозрастающие – ограничены сверху, так как , , .
2.Если монотонные последовательности ограниченны с обеих сторон, т.е. просто ограничены, то они сходятся.
3.Немонотонные последовательности этим свойством не обладают.
Пример: – ограничена, не является монотонной и не имеет предела.
Теорема Вейерштрасса
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) – немецкий математик.
Теорема:1. Всякая возрастающая последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена сверху и бесконечный предел, равный , если она неограниченна сверху. Причем, предел последовательности равен её точной верхней грани: .
2. Всякая убывающая последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена снизу, и бесконечный предел, равный , если она неограниченна снизу, причем, предел последовательности равен её точной нижней грани: .
Доказательство: I. 1.Пусть последовательность возрастает и ограничена сверху. Требуется доказать, что она сходится и .
2.Так как последовательность ограничена сверху, то множество значений её элементов ограничено сверху.
3.В соответствии с теоремой: «Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань и … т.д.», то последовательность имеет точную верхнюю грань, т.е. пусть .
4.На основании свойства точной верхней грани, можно записать:
|
|
а) выполняется неравенство ;
б) .
5.Так как последовательность возрастающая, то справедливо .
6.Рассмотрим неравенства: ; ; : или , или , или , или (так как , с учетом определения модуля, если , то ).
7.Последнее неравенство равносильно , но
.
Ч.т.д.
Доказательство: II. 1.Пусть последовательность неограниченна сверху и возрастает. Требуется доказать, что .
2.Известно, что если множество неограниченно сверху, то пишут
.
3.Значит, и множество значений последовательности, неограниченной сверху, тоже будет иметь такую верхнюю грань: .
4.Так как последовательность неограниченна сверху, то
.
5.Так как последовательность возрастающая, то .
6.Сравним неравенства: и .
7.Последнее неравенство говорит о том, что является бесконечно большой последовательностью .
Ч.т.д.
Замечание: 1. Аналогично разбирается случай убывающей последовательности.
2. Утверждения теоремы остаются в силе, если последовательность становится монотонной с определенного номера, так как без влияния на предел последовательности можно отбросить любое число её первых элементов.
Следствие №1. Для того, чтобы возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
Следствие №2. Для того, чтобы убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.