Четные и нечетные функции

Определение №1. Симметричный промежуток – это промежуток, сим­метричный относительно начала координат (; ; ).

Определение №2. Функция , заданная на симметричном проме-жутке называется четной, если для любых значений  из области опреде-ления справедливо равенство .

Примеры: а) ; б) ; в) .

y

x

0

y

x

0

1

0

x

y

    а)                            б)                         в)

Как видно из определения и приведенных примеров, графики всех четных функций симметричны относительно оси координат.

Определение №3. Функция , заданная на симметричном промежутке называется нечетной, если для любых значений  из ее области определения справедливо равенство .

Примеры: а) ; б) ; в) .

y

x

0

x

0

y

y

x

0

           а)                                б)                                  в)

Особенностью нечетных функций является то, что их графики симметричны относительно начала координат.

 

Свойства четных и нечетных функций

I. Алгебраическая сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная):

а) Для четных функций:

;

б) для нечетных функций:

.

II. Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная:

а) Для четных функций:

;

б) Для нечетных функций:

.

III. Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная:

.

IV. Всякая функция , заданная на некотором симметричном промежутке, может быть приставлена в виде суммы четной и нечетной функций, заданных на этом же промежутке.