Теорема №2. Первое и второе определение предела функции в данной точке эквивалентны.
Доказательство
I. 1. Пусть – предел функции f(x) в точке согласно первому определению предела функции в точке. Требуется доказать, что число - предел функции согласно определения №2.
2. Предположим обратное, что число не является пределом этой функции согласно определения №2 [2].
3. Это значит, что не для любого можно указать такое , что из неравенства следовало бы неравенство . Т. е., сущест- вует такое , для которого какое бы ни взять, найдётся хоть одна точка такая, что , но .
4. Возьмём в качестве последовательно такие числа:
5. Тогда для во множестве X найдётся такая точка что
, а .
Для во множестве X найдётся такая точка что , а ;
Для во множестве X найдётся такая точка что ,а ;
…………………………………………………………………………
Для во множестве X найдётся такая точка , а .
…………………………………………………………………………
6. В результате получается последовательность точек, отличных от : , сходящаяся к , так как разность стремится к нулю при (.
|
|
7. Тогда согласно первому определению предела функции в точке по Гей не, соответствующая последовательность значений функции схо- дится к числу , т. е. [2].
8. Следовательно, по определению предела последовательности по найдется такой номер , что для всех будет выполнятся .
9. А по принятому (п.5) должно выполняться неравенство .
10. Полученное противоречие и доказывает, что число является преде- лом функции f(x) в точке согласно определения №2 (по Коши).
II. 1. Пусть дано, что число – предел функции в точке по определению №2. Требуется доказать, что число - предел функции по определению №1.
2. Если число - предел функции в точке согласно определения №2, то существует такое , что из неравенства следует неравенство .
3. Возьмём любую последовательность точек : , схо- дящуюся к точке , .
4. Тогда согласно определения предела последовательности будет выполняться неравенство .
5. Вместе с тем в силу второго определения предела функции в точке будет выполняться и , .
6. Так как выбиралось произвольно, последовательность точек выбиралась произвольно, то это означает, что для любой , сходящейся к ().
7. Таким образом, число является пределом в точке согласно первому определению (по Гейне) [2]. Ч.т.д.
Замечание №2 1. Итак, установлена эквивалентность обоих опре- делений предела функции в точке. Можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
|
|
2. Оба определения сами по себе еще не дают способа отыскания предела данной функции в точке. С их помощью иногда можно установить, будет ли то или иное число пределом функции, или можно убедиться, что данная функция вовсе не имеет предела [15].