Комплексное число можно изобразить точкой плоскости с координатами (a; b). Плоскость xOy, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (рис 1.). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.
у
M(a;b)
b
О a х
Любое комплексное число единственным способом определяется его действительной и мнимой частями. Каждому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная точка М(a; b), и, обратно, каждой точке (a; b) плоскости xOy соответствует единственное комплексное число. Например, число изображается точкой М(3;2). Сопряжённые числа расположены симметрично относительно действительной оси.
Комплексное число можно геометрически изобразить в виде вектора с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(a; b).
Модулем комплексного числа называется действительное число Модуль комплексного числа называется также абсолютной величиной этого числа.
|
|
Пример.
Найти модули комплексных чисел и
Решение:
= = = = = 5;
= = = = .
Из геометрической интерпретации комплексных чисел вытекают следующие свойства:
I. Длина вектора равна .
II. Точки и симметричны относительно действительной оси.
III. Точки z и -z симметричны относительно точки О.
IV. Число геометрически изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма), соответствующих точкам (рис.2).
V. Расстояние между точками и равно .
у
О х
Арифметические действия над комплексными числами.
1. + = + .
2. – = + .
3. • = ac + bci + adi – bd = .
4. = = + i, c + di ≠ 0.