Если достоверность коэффициента корреляции доказана, с помощью его ошибки репрезентативности можно определить доверительный интервал, в пределах которого с определенной доверительной вероятностью находится коэффициент корреляции генеральной совокупности (ρ). Доверительный интервал коэффициента корреляции определяют на основе z -преобразования.
Для этого вначале преобразуют «r» в «z» по специальной таблице, затем определяют доверительный интервал для «z» (это делается по причине того, что распределение величин «r» асимметрично):
Далее преобразуют левое и правое значения доверительного интервала для «z» обратно в «r» по той же таблице и получают окончательный доверительный интервал для «r».
Пример 6. Определить доверительный интервал для r =0,34 (N =60).
Решение.
1. Преобразуем «r» в «z» по специальной таблице: r → z =0,34→0,35.
2. Вычисляем ошибку «z»:
3. Определяем доверительный интервал для «z»:
4. Преобразуем левое и правое значения доверительного интервала для «z» обратно в «r»:
z =0,10→ r =0,10;
z =0,60→ r =0,54
5. Определяем доверительный интервал для «r»:
Определение достоверности разницы между «r» разных выборок
Достоверность разницы между двумя коэффициентами корреляции из разных выборок оценивается с помощью параметра «z» и критерия Стьюдента:
Последовательность расчетов следующая:
1) преобразование «r 1» и «r 2» в «z1» и «z2» по специальной таблице;
2) вычисление ошибок «m z1» и «m z2»;
3) вычисление эмпирического значения критерия Стьюдента;
4) определение t05 для df = N 1 + N 2 - 2;
5) формулировка статистического вывода.
Пример 7. У двух сортов вишни изучали корреляцию между массой плода и массой косточки. У первого сорта (N =5) был получен r =0,87. У второго (N = 12) r =0,56. Различаются ли эти коэффициенты корреляции?
Решение:
1. Переводим значение r первого сорта в z =1,33
2. Вычислим ошибку z:
3. Переводим значение r второго сорта в z =0,63
4. Вычислим ошибку z:
5. Вычислим значение критерия Стьюдента:
6. Определим по таблице значение критерия Стьюдента: t 05 (df=N1+N2-2=15)=2,13
7. Сравним эмпирическое значение критерия Стьюдента с теоретическим: t =1,25< t 05 =2,13
Вывод: нулевая гипотеза принимается, коэффициенты корреляции у двух сортов вишни достоверно не различаются.
Практическое задание 8.1.. Изучали высоту косточки (х) и высоту плода (у) у сливы домашней сорт «Венгерка московская» (мм):
х | 15 | 16 | 15 | 15 | 16 | 16 | 17 | 18 | 18 | 17 | 17 | 17 | 15 | 16 | 15 | 15 | 15 | 14 |
у | 29 | 31 | 32 | 33 | 32 | 33 | 33 | 36 | 36 | 35 | 35 | 35 | 35 | 33 | 31 | 32 | 31 | 31 |
х | 15 | 15 | 17 | 15 | 13 | 15 | 14 | 17 | 15 | 16 | 15 | 15 | 14 | 15 | 15 | 13 | 15 | 16 |
у | 31 | 31 | 35 | 33 | 30 | 32 | 31 | 35 | 33 | 33 | 32 | 30 | 31 | 31 | 33 | 30 | 30 | 33 |
х | 16 | 15 | 16 | 15 | 16 | 18 | 17 | 14 | 15 | 15 | 16 | 18 | 15 | 14 | 17 | 15 | 15 | 14 |
у | 33 | 33 | 33 | 30 | 31 | 34 | 34 | 31 | 33 | 32 | 33 | 35 | 32 | 32 | 35 | 32 | 31 | 30 |
х | 15 | 15 | 15 | 14 | 15 | 15 | 15 | 17 | 15 | 17 | 15 | 14 | 15 | 18 | 17 | 17 | 18 | 17 |
у | 33 | 31 | 32 | 30 | 31 | 31 | 32 | 35 | 31 | 36 | 33 | 33 | 33 | 35 | 36 | 34 | 35 | 33 |
х | 14 | 15 | 14 | 17 | 16 | 17 | 18 | 18 | 16 | 16 | 17 | 17 | 16 | 16 | 17 | 16 | 16 | 15 |
у | 30 | 33 | 32 | 32 | 34 | 34 | 34 | 35 | 35 | 33 | 34 | 33 | 35 | 33 | 33 | 33 | 33 | 34 |
Вычислите коэффициент корреляции Пирсона, оцените его достоверность, определите доверительный интервал.
Решение: