36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
38. Выведите формулу Маклорена для функции y= exс остаточным членом
в форме Лагранжа.
39. Выведите формулу Маклорена для функции y= sin x с остаточным
членом в форме Лагранжа.
40. Выведите формулу Маклорена для функции y= cosxс остаточным
Членом в форме Лагранжа.
41. Выведите формулу Маклорена для функции y= ln(1 + x) с остаточным
Членом в форме Лагранжа.
42. Выведите формулу Маклорена для функции y= (1 + x)μс остаточным
Членом в форме Лагранжа.
Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие
неубывания дифференцируемой функции.
Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает наІ. Пусть
Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие
Невозрастания дифференцируемой функции.
Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой
функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и
|
|
дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их
числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна
тождественно 0 ни на одном интервале I1 принадлежащем I, то функция убывает на I
Из условия монотонности функции следует, что f(x) убывает на І. Пустьдля
некоторых точек х1 и х2, x1<x2, этого промежутка f(x1)=f(x2). Тогда для любой
точки х𝜖(х1,х2) имеем f(x1)≥f(x)≥(x2). Это означает, что функция постоянна на
(х1,х2), и следовательно, f’(x) тождественно равна 0 на этом интервале, что
противоречит условию теоремы. Таким образомf(x1)≠f(x2), а тогда f(x1)>f(x2)и
функция возрастает на I. Теорема доказана.
45. Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания
Дифференцируемой функции.
Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает наІ. Пусть