Математическая модель

Тема 1. Введение. Основные этапы решения задач на ЭВМ.

Основные этапы решения задач с помощью компьютера.

С помощью компьютера можно решить практически любую задачу, если она поддается формализации. При этом процесс ее решения представляет собой регулярный процесс обработки информации по определенным правилам. Все задачи, решаемые на компьютере можно разделить на вычислительного и не вычислительного характера. Вычислительные задачи характеризуются большим количеством арифметических операций на единицу вводимой и выводимой информации. Важнейшими признаками таких задач является необходимость использования достаточно сложного математического аппарата и проблема обеспечения заданной точности решения. В задачах не вычислительного характера на первый план выдвигаются проблемы эффективной обработки больших информационных массивов и преобладающими являются не арифметические, а логические операции. В таких задачах приближенное решение в таких задачах не имеет смысла, и результат может быть или верным, или ошибочным.

Решение любой задачи включает в себя следующие этапы:

1) Содержательная постановка задачи.

2) Математическая постановка задачи (при необходимости).

3) Выбор метода решения задачи.

4) Разработка алгоритма решения задачи.

5) Выбор языка программирования и составление программы.

6) Ввод программы и исходных данных в память компьютера.

7) Отладка программы.

8) Тестирование программы.

9) Документирование программы.

Содержательная постановка задачи представляет собой по возможности полное ее описание в терминах языка соответствующей предметной области. При этом нужно четко определить:

- что является входными данными задачи, в каких пределах могут изменяться их значения и какова точность задания этих значений;

- что, в какой форме и с какой точностью (для вычислительных задач) должно быть получено в результате решения.

Математическая постановка задачи состоит в формулировке математических отношений (равенств, уравнений, неравенств, логических конструкций), отображающих количественные взаимосвязи между принятыми во внимание факторами. Результатом математической постановки является математическая модель задачи.

Для многих объектов и процессов имеются готовые математические модели, и основные усилия в таких случаях приходится затрачивать на то, чтобы приспособить имеющиеся модели к особенностям решаемой задачи. Есть, в свою очередь задачи, для которых математические модели чрезвычайно сложно, либо вообще не могут быть построены.

Для решения многих задач вычислительной математики методы решения разработаны достаточно хорошо. Поэтому при решении подобных задач необходимость в разработке метода возникает довольно редко. Чаще приходится выбирать подходящий метод из известных, учитывая сложность и точность метода. Сложность и точность почти всегда находятся в противоречии друг с другом, и выбор метода решения заключается в поиске компромисса. Вычислительная сложность выбранного метода определяет целесообразность использования компьютера при решении конкретной задачи. Если анализ показывает, что применение компьютера целесообразно, то необходимо приступить к разработке машинного алгоритма. С этого момента начинается программирование задачи, которое включает в себя проектирование алгоритма, ее кодирование с помощью выбранного языка программирования, отладку и тестирование программы.

Математическая модель.

Компьютер решает задачу, выполняя команды нашего алгоритма, выраженные на языке програм­мирования. Команды имеют вид электрических сигналов, соответствующих двоичному способу кодирования. Поэтому обработка этих сигналов, выполнение требуемых операций происходит в компьютере по законам арифметических действий в двоичной системе счисления и булевой алгебры. Это возможно, если все необходимые для решения задачи действия формализованы, т. е. представлены как математические операции и соотношения между входящими в них переменными. Задача переводится на язык математических формул, уравнений, отношении. Далеко не всегда эти формулы очевидны. Нередко их приходится выводить самому или отыскивать в специальной литературе. Если решение задачи требует математического описания какого-то реального объекта, явления или процесса, то формализация равносильна получению соответствующей математической модели. В случае большого чиста параметров, ограничении, возможных вариантов исходных данных модель явления может иметь очень сложное математическое описание (правда, реальное явление еще более сложно), но если такого описания не будет, то переложить решение задачи на компьютер вряд ли удастся. Поэтому часто построение математической модели требует упрощения требований задачи.

Математическому моделированию подлежат объекты и процессы реального мира. Первый этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1)модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект (или как проистекает процесс), какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2)модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3)модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Модели, нацеленные в основном на понимание, называют дискриптивными, на управление - оптимизационными, на прогнозирование - прогностическими. Кроме того, выделяют игровые, имитационные и другие классы моделей.

Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде:

y_j=F_j(x₁, x₂, …, x_n), (j=1,2,…,k),

где F_j - те действия, которые следует произвести над входными параметрами (x_i)), чтобы получить результаты. Входные параметры могут быть известны с определенной степенью точности. Однако в природе и обществе часто встречаются процессы, когда значения параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности их влияния на выходные. Такой процесс называется ранжированием. Отбрасывание менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей.

Следующий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

Когда математическая модель сформулирована, выбирают метод ее исследования. Если этот метод использует компьютер, то подбирают уже имеющуюся программу для ЭВМ или разрабатывают новую.

При компьютерном моделировании возможно использование специализированный программ, программ решения математических задач и графической поддержки.