Четырехугольники и их свойства

2.1 Общие сведения

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются, называется многоугольником.

Звенья ломаной – стороны многоугольника. Сумма длин всех сторон многоугольника – периметр многоугольника. Отрезок, соединяющий две не соседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n – угольника равна ;

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, совпадает с центром окружности описанной около этого многоугольника.

Если , где n – количество сторон правильного многоугольника, то радиус описанной окружности меньше его стороны.

Если , где n – количество сторон правильного многоугольника, то радиус описанной окружности равен его стороне.

Если , где n – количество сторон правильного многоугольника, то радиус описанной окружности больше его стороны.

Если - длина стороны правильного многоугольника, - радиус вписанной окружности, - радиус описанной окружности, то

;

Четырехугольник – многоугольник, имеющий четыре вершины.

Если диагонали четырехугольника пересекаются, то он выпуклый.

Отрезки MN, PQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GN, PG=GQ, RG=GS.

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MN²+PQ²+RS²= (AB²+BC²+CD²+AD²+AC²+BD²).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

S_ABCD= MN·PQ·sin β.

В школьном курсе планиметрии рассматриваются две группы выпуклых четырехугольников: параллелограмм и трапеция.

1.2. Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, противоположные стороны которого, параллельны.

2.2.1 Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны;

В параллелограмме противоположные углы равны;

В параллелограмме сумма любых соседних углов равна 180°;

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника;

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон;

Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника;

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны, а противоположных параллельны;

Биссектрисы параллелограмма при пересечении образуют параллелограмм;

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен одному из углов этого параллелограмма;

Если концы отрезка лежат на противоположных сторонах параллелограмма, и он проходит через точку пересечения его диагоналей, то точка пересечения диагоналей – середина этого отрезка.

2.2.2 Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

· Противоположные стороны попарно равны;

· Противоположные углы попарно равны;

· Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

· Две противоположные стороны равны и параллельны;

· Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон;

2.2.3.Виды параллелограмма

2.2.3.1 Прямоугольник – параллелограмм, один из углов которого прямой.

Свойства прямоугольника	Признаки прямоугольника
В прямоугольнике диагонали равны;	Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник;
Около прямоугольника можно описать окружность;	Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник;
В прямоугольнике все углы равны;	Если в параллелограмме все углы равны, то это прямоугольник;

2.2.3.2 Ромб – параллелограмм, у которого смежные стороны равны.

Свойства ромба	Признаки ромба
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны;	Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб;
В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов;	Если диагональ параллелограмма является его биссектрисой, то это ромб;
В ромб можно вписать окружность;	Если в параллелограмм вписана окружность, то это ромб;
В ромбе высоты равны;	Если в параллелограмме высоты равны, то это ромб;

2.2.3.3 Квадрат – прямоугольник, у которого смежные стороны равны.

Квадрат – ромб, один из углов которого прямой

Свойства квадрата	Признаки квадрата
В квадрате диагональ в раз больше его стороны;	Если диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, то это квадрат;
	Если диагональ прямоугольника является его биссектрисой, то это квадрат;
	Если в прямоугольник вписана окружность, то это квадрат;
	Если ромб вписан в окружность, то это квадрат; Если диагональ ромба в раз больше его стороны, то это квадрат;

2.3 Трапеция – выпуклый четырехугольник, две стороны которого, параллельны, а две другие нет.

Если один из углов трапеции прямой – трапеция прямоугольная.

Если боковые стороны трапеции равны – трапеция равнобедренная.

Углы при основании трапеции могут быть острые, тупые или один острый другой тупой.

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

2.3.1 Свойства трапеции
В трапеции сумма односторонних углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°;
Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, два из которых подобны, а два равновелики;
В трапеции точки пересечения диагоналей, пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой;
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований;
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований;
Если сумма углов при основании трапеции равна 90°, то отрезок соединяющий середины оснований трапеции равен полуразности оснований;
Если биссектриса трапеции пересекает основание, то она отсекает от трапеции равнобедренный треугольник;
Биссектрисы односторонних углов трапеции при боковой стороне взаимно перпендикулярны;

2.3.2 Свойства равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при основании равны;

В равнобедренной трапеции диагонали равны;

В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины к большему основанию, делит его на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, меньший полуразности;