Канонические преобразования. Теорема Лиувилля

Выбор обобщенных координат при рассмотрении динамики системы не ограничен никакими условиями. Этими координатами могут быть любые величин, которые однозначно определяют положение в пространстве входящих в состав системы материальных точек. Формальный вид уравнений Лагранжа (1.3.14) не зависит от этого выбора, т.е. уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат к любым другим наборам независимых величин. Новые координаты являются функциями прежних координат:

Наряду с уравнениями Лагранжа при таком преобразовании сохраняют свою форму и уравнения Гамильтона (1.4.9). При этом уравнения Гамильтона допускают гораздо более широкий класс преобразований переменных. Это связано с тем, что в динамике Гамильтона импульсы играют роль независимых переменных наряду с координатами. Таким образом, понятие преобразования может быть расширено, в частности, оператор эволюции является частным примером преобразования всех 2 независимых переменных и к новым величинам и:

Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных преимуществ динамики Гамильтона.

Соответствующие преобразования, при которых уравнения движения сохраняют свой канонический вид, называют каноническими. Для рассматриваемого случая замкнутой системы функция Гамильтона инвариантна относительно любого канонического преобразования.

Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией, которую называют производящей функцией преобразования.

45

Например, если задать производящую функцию как функцию «старых» координат и «новых» координат:, то установление связи между старыми и новыми переменными осуществляется по формулам:

Иногда бывает удобно выразить производящую функцию не через переменные, а через прежние координаты и новые импульсы. Тогда, используя преобразование Лежандра, можно показать, что производящей будет функция:

Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных или.

Вернемся теперь к рассмотрению фазового пространства. Произведение дифференциалов

можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства. Тогда интеграл, взятый по определенной области фазового пространства, задает объем этой области. При рассмотрении замкнутой системы, для которой выполняется закон сохранения энергии, соответствующая область фазового пространства определяется поверхностью заданной энергии: и другими независимыми интегралами движения, число которых равно.

Покажем, что величина объема определенной области фазового пространства обладает свойством инвариантности по отношению к каноническому преобразованию: если произвести каноническое преобразование от переменных к «новым» переменным, то величины объемов областей фазовых пространств и одинаковы:

46

Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле

где — якобиан преобразования:

Поэтому доказательство теоремы (1.7.5) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице:

Воспользуемся известным свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» якобиана на, получим:

Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому

Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе соотношения (1.7.9). Согласно определению это есть определитель ранга, составленный из элементов (элемент на пересечении –й строки и –го столбца). Для их вычисления используем каноническое преобразование с помощью производящей функции в форме (1.7.4):

47

Таким же образом найдем, что в знаменателе (1.7.9) элемент на пересечении –й строки и –го столбца определителя равен. Это значит, что оба определителя отличаются только заменой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отношение (1.7.9) равно единице, что и требовалось доказать.

Представим себе теперь, что каждая точка данной области фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой системы. Тем самым будет перемещаться и вся область. При этом ее объем остается неизменным:

Это утверждение, известное как теорема Лиувилля, непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях, а также из того, что и изменение переменных во времени может быть рассмотрено как каноническое преобразование.