Событие, интервал, собственное время, энергия свободной материальной частицы

В релятивистской механике широко используется понятие события, которое определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Другими словами, событие, происходящее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие.

Часто из соображений наглядности используется воображаемое четырехмерное пространство, на осях которого откладываются пространственные координаты и время. В этом пространстве события изображаются точками, которые называют мировыми точками. С течением времени всякой частице соответствует некоторая линия, называемая мировой линией в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.

Если и – координаты каких-либо двух событий, то величина

52

называется интервалом между этими двумя событиями. Можно показать, что интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, т.е. является инвариантом по отношению к преобразованию от одной инерциальной системы отсчета к любой другой. Эта инвариантность и является математическим выражением постоянства скорости света как скорости сигнала.

Интервал, значение которого является вещественной величиной (действительным числом) называют времениподобным. Можно показать, что если интервал между двумя событиями времениподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Время, которое пройдет между такими событиями в этой системе отсчета, равно

Если какие-либо два события происходят с одним и тем же телом, то интервал между ними всегда времениподобный.

Существует такая система отсчета, в которой два события происходят в одно и то же время. В этом случае интервал между двумя такими событиями должен быть мнимой величиной. Мнимые интервалы называют пространственноподобными.

Разделение интервалов на времениподобные и пространственноподобные есть понятие абсолютное в силу их инвариантности. Это значит, что свойство интервала быть времениподобным и пространственноподобным не зависит от системы отсчета.

Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный, что непосредственно следует из того, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света. Для таких событий имеют абсолютный смысл понятия «раньше» и «позже», что является необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия.

Предположим далее, что мы наблюдаем, находясь в некоторой инерциальной системе отсчета, за движущимися относительно нас часами. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат, которая вместе с часами будет являться инерциальной системой отсчета.

Движущиеся часы в течение бесконечного малого промежутка времени по неподвижным (связанным с нами) часам проходят

53

расстояние. Необходимо ответить на вопрос, какой промежуток времени покажут при этом движущиеся часы.

В системе координат, связанной с движущимися часами, эти часы покоятся, т.е.. В силу инвариантности интервала (2.2.1) имеем

поэтому

Учитывая, что

где есть скорость движущихся часов, получаем

Следовательно, промежуток времени, показываемый движущимися часами, будет соотноситься с промежутком времени

по неподвижным часам согласно следующему выражению:

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Соответственно, формулы (2.2.6) и (2.2.7) выражает собственное время через время системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Из (2.2.6) и (2.2.7) непосредственно следует, что собственное время движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток времени в неподвижной системе. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов.

Отметим, что для сравнения хода часов в двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной системе и одни в другой. Всегда

54

окажутся отстающими те часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета.

Если же имеются двое часов, из которых одни описывают замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к неподвижным часам), то окажутся отстающими именно движущиеся часы по сравнению с неподвижными. Обратное утверждение, в котором движущиеся часы рассматривались как неподвижные, теперь невозможно, так как часы, описывающие замкнутую траекторию, не движутся прямолинейно и равномерно, а потому связанная с ними система отсчета не является инерциальной.

Промежуток времени, показываемый часами, равен интегралу, взятому вдоль мировой линии этих часов. Если часы неподвижны, то их мировая линия является прямой, параллельной оси времени. Если же часы совершают неравномерное движение по замкнутой кривой и возвращаются в исходное место, то их мировая линия будет кривой, проходящей через две точки на прямой мировой линии неподвижных часов, соответствующих началу и концу движения.

С другой стороны, мы знаем, что покоящиеся часы всегда показывают больший промежуток времени, чем движущиеся. Таким образом, интеграл между двумя заданными мировыми точками, имеет максимальное значение, если он берется по прямой мировой линии, соединяющей эти точки. Это утверждение справедливо при условии, что эти точки и соединяющие их линии таковы, что все элементы вдоль линий времениподобны.