2020-10-10
133
Частные производные - понятие несколько искусственное. Оно "привязано" к системе координат, которую можно вводить по-разному. Производная это скорость изменения функции. Имеете смысл ввести скорость изменения функции в любом направлении. Принципиально следующие рассуждения применимы к функциям любого числа переменных, но рассмотрим трехмерный случай как наиболее важный практически. Пусть функция u (x,y,z) дифференцируема в точке M 0(x 0 ,y 0 ,z 0) и 
единичный вектор, заданный направляющими косинусами, т.е. косинусами углов, образованных вектором с осями координат. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 параллельно вектору 
задается параметрическими уравнениями
x=x 0+ t× cos a, y=y 0+ t× cos b, z=z 0+ t× cos g. Рассмотрим функцию
v (t)= u (x 0+ t× cos a, y 0+ t× cos b, z 0+ t× cos g) переменной t (суперпозиция t ®(x,y,z)® u), определенную в некоторой окрестности 0 в силу дифференцируемости функции u (x,y,z).
Определение 14. Производной 
функции u (x,y,z) в точке M 0(x 0 ,y 0 ,z 0) в направлении вектора 
называется 
|
|
|
Применяя формулу дифференцирования сложной функции, получим:
Последнее выражение является скалярным произведением двух векторов: 
и 
.
По определению скалярного произведения 
где j угол между градиентом и вектором 
, последнее равенство справедливо, поскольку вектор 
единичный. Отсюда видно, что максимальное значение производной по направлению достигается при cos j=1, т.е. при j=0 - в направлении градиента функции! Тем самым, направление градиента это направление наискорейшего возрастания функции, а скорость в направлении градиента равна модулю градиента. Направление наискорейшего возрастания функции не зависит от выбора системы координат, отсюда градиент это мощный вектор, инвариантный относительно таких изменений. На этих замечательных свойствах градиента основаны многочисленные численные методы оптимизации.
Найдем производные функции по направлениям координатных осей 
Например, 
, аналогично с другими осями. То есть, определение согласовано с «обычными» частными производными.
Пример. Найти производную функции u=x 2+ y 2 +z 2 в точке A (1,1,1) по направлению к точке B (-1,3,2).
Решение. Найдем координаты вектора 
: (-2,2,1). Единичный вектор в направлении 
равен 
grad u =(2 x, 2 y, 2 z), grad u (A)=(2, 2, 2). Все подготовлено к вычислению производной по направлению.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое производная функции в данной точке в направлении данного вектора?
2. Как вычисляется производная по направлению?
3. В каком направлении скорость изменения функции максимальная?
Упражнение
1. Найти производную функции u=x 3+ y 3+ z 3 в точке (1,1,1) в направлении
|
|
|
- к точке (0,2,0),
- градиента функции v=xyz.
