Уравнения диффузии
Получены в 1855 г. А. Фиком при исследовании биологических объектов.
Первый закон Фика:
(6.28)
где J – плотность потока диффундирующих атомов;
С – концентрация;
D – коэффициент диффузии.
В одномерном случае:
(6.29)
т.е. если нет grad C, то J = 0.
Для нестационарного потока – второй закон Фика:
(6.30)
J меняется, так как меняется со временем С (рис. 6.9).
(6.31)
(6.32)
если D ¹ f (x).
Рис. 6.9. Второй закон диффузии
В трехмерном случае:
(6.33)
Это уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения вещества.
Уравнения Фика в общем случае не решаются, а решаются только при определенных граничных и начальных условиях.
Решения уравнения диффузии
1. Диффузия из бесконечного источника
В технологии получения p-n перехода при диффузии из газовой среды вещество (BCl3, PCl5 и др.) поступает в полубесконечное тело через х = 0 и поверхностная концентрация С0 сохраняется постоянной (рис. 6.10). Граничные условия:
|
|
C (x, t) = C0 при х = 0, любых t
C (x, t) = 0 при х > 0, t =0 (6.34)
C (x, t) = C при х > 0, t > 0
Рис. 6.10. Диффузия из бесконечного источника
Решение уравнения (5):
(6.35)
Функции и табулированы. Для определения D надо построить распределение С / С0 = f (х), наложить на него кривую , найти и определить D, зная t и х. Чаще приходится строить распределение С (х), зная D при данной температуре.
2. Диффузия из ограниченного источника
Это диффузия из напыленной пленки, из слоя после загонки и др. (рис. 6.11).
Рис. 6.11. Диффузия из ограниченного источника
Пусть источник толщиной h расположен на х = 0
(6.36)
С0×h = N0 на единицу площади (6.37)
Решение уравнения (6.32) имеет вид:
(6.38)
Коэффициент диффузии D определяется из графика (рис. 6.12):
(6.39)
, t – известно (6.40)
Рис. 6.12. Определение коэффициента диффузии D из распределения концентрации примеси С (х, t)
Измеряя D при разных температурах, можно определить Q (рис.6.13):
(6.41)
(6.42)
Рис. 6.13. Температурная зависимость коэффициента диффузии
Для определения D можно использовать метод изотопов, оптические методы, определение концентрации свободных носителей и др.