Понятие предела для функции двух переменных

Пусть функция  задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки.

Определение: Если для последовательности точек , ,..., , окрестности, сходящейся к точке , соответствующая последовательность знаний функций , ,..., , имеет пределом одно и то же число , то это число  называют пределом функции  при ,  и пишут .

Геометрически тот факт, что число  является пределом функции  при ,  означает, что, какова бы ни была последовательность точек плоскости , ,...,  неограниченно приближающихся к точке , последовательность аппликат соответствующих им точек поверхности, изображающей функцию  имеет пределом число . Предел функции  при ,  определяется поведением функции вблизи точки  и не зависит от значения функции в самой этой точке.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в этой точке, если

Пример 1: Найти пределы:

а.

б.

в.

г.

Частные производные, градиент, дифференциал

Определение: Частными производными  по  и по  называются пределы вида:

 

 

Вычисление частных производных по  (по ) от конкретных функций производится по известным для функций одной переменной правилам, так как частная производная функции , рассматриваемой как функции одной переменной  (соответственно ) при постоянном значении другой переменной.

Определение: Дифференциалом функции  называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения независимых переменных  или , учитывая, что , .

Производной  по направлению функции  называется предел . Производная по направлению может быть выражена через частные производные по формуле , где единый вектор  задает направление /  углами  и , образуемые с осями координат.

Определение: Градиентом функции  называется вектор с координатами ,  в точке .

По определению

Пример 2. Найти частные производные функций

а)

При дифференцировании по  считаем постоянной величину :

При дифференцировании по , следовательно,

б)

Четные производные 1го порядка имеют вид , .

Частные производные по  и по  от функций   и  второго порядка от функции  в этой точке и обозначаются следующим образом:

,

 

,

 

,

 

,

Частные производные второго порядка зависят от координат точки, в которой они вычисляются, т.е. в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в области  или в её части.

Смешанные частные производные данной функции, отмечающиеся лишь последовательностью произведенных дифференцирований, совпадают друг с другом.

Пример 3. Найти частные производные II порядка для функции .

Находим производные I порядка по  и по :

,

.

Найдем частные производные II порядка:

,  ,

    и .

Теорема: Если в некоторой окрестности точки  функция  имеет частные производные  и  и эти производные непрерывны в самой точке , то они в этой точке равны:

.