Тема 7. Определенный интеграл

Пусть функция  задана на отрезке . Разобьем отрезок  на  – элементарных отрезков точками . В каждом из отрезков разбиения  выберем произвольно точку и положим .

Сумма всех таких произведений

 или короче:  называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Пусть существует и конечен предел  интегральной суммы при стремлении к нулю , не зависящей от способа разбиения отрезка  на части и способа выбора точек  на отрезках разбиения. Тогда функция  называется интегрируемой на , число  – определенным интегралом от  на  и обозначается ; .

Рассмотрим  свойства  определенного  интеграла.

Свойство 1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a = b), то интеграл равен нулю:

Свойство 2. Если f(x) = 1, то

Свойство 3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R.

Свойство 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

Свойство 6. (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и  то существует также интеграл  и для любых чисел a, b, c;

Свойство 7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то  a < b.

Свойство 8. (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f (x) и φ (x) удовлетворяют неравенству f (x) ≥ φ (x) [a; b], то

 a >b.

Свойство 9. (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x), непрерывной на отрезке [a; b], то  a < b.

Свойство 10. (теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что  т.е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b – a этого отрезка.