Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f (x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x = b и x = a.

 

Определенный интеграл от непрерывной на  функции  равен приращению любой ее первообразной  на этом отрезке:

, или

Формула Ньютона-Лейбница дает простой и удобный метод вычисления определенных интегралов от непрерывных функций, применимый в тех случаях, когда первообразная подинтегральной функции может быть найдена в элементарных функциях.

Пример 1.

Вычислить интегралы

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) [f(x) ≥ 0], прямыми x = a и x = b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x)[f₁(x) ≤ f₂(x)] и прямыми x = a и x = b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x = a, x = b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a = x(t₁), b = x(t₂) [y(t) ≥ 0 при t₁ ≤ t ≤ t₂].

Определение и вычисление длины кривой:

Если кривая y = f (x) на отрезке [a; b] – гладкая (т.е. производная y’ = f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x = x (t), y = y (t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t₁ до t₂, вычисляется по формуле:

Дифференциал  длины  дуги:

Длина дуги кривой определяется формулой:

где y = f (x)  [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела: