Определение: Ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, называются знакочередующимися. Знакочередующийся ряд, если первый член положителен, можно записать в виде: , где ,
Признак Лейбница:
Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины членов ряда убывают: и общий член стремится к нулю при , то ряд сходится.
Пример 11. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда
1)
Решение:
Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:
и . Данный ряд сходится.
Пример 12.
Решение:
Вместо данного ряда возьмём ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда . Это ряд с положительными членами, сравним его по первому признаку сравнения с рядом ; . Ряд – геометрическая прогрессия со знаменателем , он сходится. По признаку сравнения данный ряд сходится.
Пример 13.
Решение:
По признаку Лейбница Первое условие признака Лейбница выполнено, т.е. второе условие
выполнено. Ряд сходится.
Определение: Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
|
|
Пример 14. Ряд – абсолютно сходящийся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин сходится.
Пример 15. Ряд условно сходится. Оба условия признака Лейбница выполнены:
1)
2)
Ряд, составленный из модулей его членов , расходится по интегральному признаку сравнения. Деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся весьма существенно. Основные свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают.