Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где , – некоторые действительные числа, – некоторая функция. Если тождественно равна нулю, то соответствующее уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Рассмотрим решение однородного дифференциального уравнения . Ему ставится в соответствие характеристическое уравнение: , где переменная.
Если характеристическое уравнение имеет действительные корни и , причем , то общее решение уравнения имеет вид: .
Если характеристическое уравнение имеет один корень (кратности 2), то общее решение уравнения имеет вид: .
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то общее решение уравнения имеет вид:
, где , – действительные числа.
Пример 6:
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
а)
Составим характеристическое уравнение
, ,
Уравнение имеет два различных корня
, .
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
|
|
.
б)
Уравнение имеет два совпадающих корня или один корень кратности 2, , поэтому искомое общее решение дифференциального уравнения есть .
в)
Характеристическое уравнение будет
, .
Уравнение имеет комплексные корни , поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Рассмотрим решение неоднородного дифференциального уравнения. Один из способов решения уравнения основан на том, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного однородного уравнения.
Пример 7
Найти частные решения неоднородных уравнений:
Напишем характеристический многочлен . Его корнями являются числа и .
Так как и, можно полагать, , поэтому частное решение будем искать в виде . Подставляя эту функцию в исходное уравнение, после приведения подобных слагаемых и сохранения на приходим к равенству , которое удовлетворяется тождественно (при всех ), если
Откуда , и искомое частное решение имеет вид: .
Пример 8
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдём корни характеристического уравнения: , тогда
, , тогда фундаментальную систему решений образуют функции:
Так как действительные мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: . Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
Имеем , , тогда т.к. – многочлен второй степени, то общий вид правой части: .
|
|
Найдем частные решения:
, ,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , , , решив систему: ,
отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
.
Таким образом, при решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка возможны три случая решения характеристического уравнения.