Сложное движение точки

Движение точки называется сложным, если оно происходит относительно двух систем координат, одна из которых – подвижная, а другая – неподвижная. Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным, а движение подвижной системы координат относительно неподвижной – переносным. Часто подвижную систему координат связывают с некоторым твердым телом, совершающим движение относительно неподвижной системы координат. При этом полагается, что относительное и переносное движения известны. Задача состоит в том, чтобы определить сложное движение точки в неподвижной (абсолютной) системе координат.

Пусть точка P перемещается по поверхности твердого тела, движущегося произвольным образом относительно абсолютной системы координат O_aXYZ (рис. 21).

 

	Рис. 21

 

Система координат OXYZ движется поступательно вместе с центром O твердого тела: , а система координат Oxyz жестко связана с твердым телом и вращается вокруг центра O:  - матрица поворота Oxyz вокруг OXYZ. Радиус-вектор точки P в системе координат Oxyz обозначим  и будем полагать известным. Вычислим абсолютную скорость точки P, воспользовавшись соотношением (2):

.                (12)

Обозначив в (12)  и  получим:

,                                               (13)

где  - скорость переносного движения точки P,  - скорость относительного движения точки P. Соотношение (13) называется теоремой о сложении скоростей. Абсолютное ускорение точки P определим, продифференцировав по времени t соотношение (12):

.                                   (14)

Обозначая в (14)  - абсолютное ускорение центра O,  - угловое ускорение твердого тела и учитывая, что , будем иметь:

.                              (15)

Следует обратить внимание в (15) на слагаемое , которое образовалось в результате дифференцирования по времени t переносной скорости . Покажем, что такое же слагаемое будет иметь место после дифференцирования относительной скорости . Для этого обозначим в (15)  - ускорение относительного движения точки P и умножим слагаемое  на единичную матрицу . В результате получим:

.                              

Замечая, что , окончательно будем иметь:

,                                (16)

где  - переносное ускорение,  - ускорение Кориолиса. Соотношение (16) называется теоремой о сложении ускорений. Изложенное дает основание сделать важные с точки зрения механики выводы:

· Если в переносном движении присутствует вращательная составляющая (), то в случае сложного движения точки имеет место ускорение Кориолиса.

· Множитель «2» в формуле для ускорения Кориолиса отражает тот механический факт, что в образование ускорения Кориолиса переносное и относительное движение вносят одинаковый вклад .

· Модуль ускорения Кориолиса вычисляется по формуле , φ – угол между векторами  и ; направление вектора  - перпендикуляр к плоскости векторов  и согласно правилу правой тройки (рис 22).

· В динамике сложного движения материальной точки необходимо всегда учитывать возможность возникновения сил инерции, обусловленных ускорением Кориолиса.

Если переносное движение твердого тела является плоским и относительное движение точки происходит в плоскости, параллельной плоскости движения твердого тела, то угловая скорость  всегда перпендикулярна относительной скорости  и . Для данного случая существует простое правило определения направления ускорения Кориолиса:

· Если вектор  повернуть на 90⁰ в плоскости движения по направлению вращения твердого тела, то этот вектор укажет направление  (рис. 23).

		Рис. 22
						Рис. 23

 

 

Задача

					Вычислить скоростьи ускорение суппорта 5 строгального станка в положении, указанном на рис. 24.   Исходные данные: OA = 0.1 м, O1O = 0.3 м, O1B = 0.6 м, ω = 4 рад/с = const.
		Рис. 24

 

Решение

Дадим описание работы механизма станка по заданной схеме (рис. 24). Механизм состоит из шести звеньев: стойки 0, кривошипа 1, кулисного камня 2, кулисы 3, ползушки 4 и суппорта 5. Стойка 0 является в рассматриваемой задаче неподвижным звеном. Кривошип 1 совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр O, и является входным звеном.8 Согласно условию задачи, кривошип 1 вращается равномерно с угловой скоростью ω = 4 рад/с. Движение от кривошипа передается кулисе 3 через кулисный камень 2. Кулиса 3 совершает возвратно-качательное движение вокруг оси, проходящей через центр O₁. Кулисный камень 2 совершает сложное движение: он движется возвратно-поступательно вдоль кулисы 3 и одновременно вращается вокруг центра O₁ вместе с кулисой. Кулиса 3, через ползушку 4, приводит в движение суппорт 5, который является выходным звеном механизма.9 Суппорт 5 совершает возвратно-поступательное движение в горизонтальном направлении. Ползушка 4 совершает сложное движение: она движется возвратно-поступательно в вертикальном направлении относительно суппорта и вместе с суппортом совершает возвратно-поступательное движение в горизонтальном направлении. Все подвижные звенья данного механизма совершают плоское движение.

Обозначим A₁ точку A, принадлежащую кривошипу 1, а точку A, принадлежащую кулисе 3, обозначим A₃. Тогда, по теореме о сложении скоростей (13), можно записать:

,                                    (17)

где  - абсолютная скорость точки A, принадлежащей кривошипу 1,  - скорость точки A, принадлежащей кулисе 3 (переносная скорость),  - скорость точки A кривошипа 1 относительно точки A кулисы 3 (относительная скорость). Найдем : , направление вектора  - перпендикуляр к OA в сторону вращения кривошипа 1. Скорости  и  известны только по направлению:  - перпендикуляр к O₁B,  - вдоль O₁B. Поэтому, для вычисления величин этих векторов удобно воспользоваться методом векторных планов. Из произвольной точки p_v, называемой полюсом плана скоростей, отложим отрезок p_va₁ произвольной длины, отображающий абсолютную скорость  (рис. 25). Согласно векторному уравнению (17) через точку a₁ проведем прямую, параллельную O₁B (направление скорости ) и через точку p_v – прямую, перпендикулярную O₁B (направление ). На пересечении этих прямых получим точку a₃. Так как треугольник векторов прямоугольный и подобный треугольнику OO₁A, то  и  вычислим по теореме Пифагора:

 

 

				Рис. 26

 

;

. Угловая скорость кулисы 3: .

Рассмотрим теперь движение суппорта 5 и кулисы 3. Согласно (13) имеем:

,                                   (18)

где  - абсолютная скорость точки B, принадлежащей кулисе 3,  - абсолютная скорость точки B, принадлежащей суппорту 5 (переносная скорость),  - скорость точки B, принадлежащей кулисе 3 относительно точки B, принадлежащей суппорту 5. Определим : , направление  - перпендикуляр к O₁B. Скорости  и  известны только по направлению, поэтому их величины определим, построив векторный план. Отложим от точки p_v в направлении p_va₃ отрезок , отображающий на плане скорость  (рис. 25). Через точку b₃, согласно (18), проведем прямую по направлению скорости  и замкнем треугольник прямой, проведенной в направлении скорости . На пересечении этих прямых отметим точку b₅. Так как полученный треугольник – прямоугольный и подобный верхнему треугольнику, то то  и  вычислим по теореме Пифагора:

,

.

Таким образом, скорость суппорта 5 в положении, указанном на рис. 24, равна 0.22 м/с и направлена влево. Полученный результат соответствует исходным данным: действительно, согласно положению механизма на схеме, крайнее правое положение суппортом уже пройдено и он движется в обратном направлении.

Определим ускорения звеньев механизма. По теореме о сложении ускорений (16) можно записать:

,                                           (19)

где (, т.к. ); , . Таким образом, в уравнении (19) присутствуют два неизвестных по величине ускорения; для их вычисления воспользуемся методом векторных планов. Отложим от полюса плана ускорений p_w отрезок p_wa₁, изображающий ускорение точки A кривошипа 1 (рис. 26). Для удобства вычислений длину этого отрезка примем равной 40 мм. Тогда масштаб плана ускорений . Переведем в отрезки известные нам по величине ускорения: , . Так как отрезок p_wa^*₃ мал, пренебрежем его длиной, и будем считать, что точки p_w и a^*₃ совпадают. Направление отрезка , изображающего ускорение Кориолиса, определим, повернув отрезок , изображающий относительную скорость , (рис. 25) на 90⁰ в направлении вращения кулисы 3. Замыкая векторный многоугольник направлениями ускорений  и , в соответствии с уравнением (19) получим точку . Тогда отрезку будет соответствовать относительное ускорение , а отрезку  - тангенциальное ускорение  точки A, принадлежащей кулисе 3. Рассмотрим теперь движение суппорта 5 и кулисы 3. Согласно (16) имеем:

,                                   (20)

где  - ускорение суппорта 5,  - ускорение точки B кулисы 3 относительно точки B суппорта 5. В данном случае , так как переносное движение суппорта – поступательное. Нормальное ускорение , отображающий это ускорение отрезок . Отрезок b^*₃b₃, отображающий тангенциальное ускорение , найдем из соотношения: . Замыкая векторный многоугольник направлениями ускорений  и  в соответствии с уравнением (20) получим точку b₅ (рис. 26). Отрезок p_wb₅ отображает на плане ускорение суппорта 5. Длина этого отрезка – 55 мм, следовательно .

    Таким образом, ускорение суппорта в положении механизма, изображенном на рис. 24, равно 2.20 м/c² и направлено в ту же сторону, что и вектор скорости суппорта. Это означает, что в данный момент времени суппорт ускоряется. Планы скоростей и ускорений, изображенные на рис. 25 и рис. 26 соответственно, дают полную информацию о скоростях и ускорениях звеньев механизма в заданном на рис. 24 положении. Для того чтобы получить векторные планы в другом положении механизма, необходимо заново выполнить все приведенные вычисления.