2020-10-12
123
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
(МАЯТНИК УИЛБЕРФОРСА)
Цель работы
Исследование колебаний маятника на пружине, обладающей продольной и крутильной жесткостью, изучение явления биений при сложении колебаний с близкими частотами в системе с двумя степенями свободы, опытное определение периода биения и крутильной жёсткости пружины.
Подготовка к работе
Изучите теоретический материал по учебнику [1]: степени свободы механических систем, биения при сложении колебаний с близкими частотами. Изучите также раздел 5 методического описания и подготовьте ответы на вопросы раздела 3.
Вопросы для допуска к лабораторной работе
1. Дайте определение числа степеней свободы механической системы. Приведите примеры систем с одной, двумя, тремя степенями свободы. Какими степенями свободы обладает изучаемая в настоящей работе система?
2. При каких условиях возникают биения? Запишите математически и изобразите графически зависимость амплитуды биений от времени. Опишите характер движения груза на пружине в режиме биений.
|
|
|
3. 0т каких параметров системы зависят периоды продольных и крутильных колебаний груза на пружине? Почему период продольных колебаний не изменяется при смещении дисков по спицам? Каким образом можно регулировать период крутильных колебаний в лабораторной установке?
4. Запишите математически зависимость периода биений от периода крутильных колебаний. В каких переменных следует построить эту зависимость, чтобы она была прямолинейной?
5. Объясните, каким образом экспериментально определяется крутильная жесткость пружины? В чем заключается физический смысл этого параметра и какова его размерность?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. I. М.: Наука, 1998 г.
Методика проведения эксперимента и описание установки
Устройство лабораторной установки показано на рис. 1. Металлический цилиндр 1 подвешен к пружине 2, верхний конец которой закреплён ни стойке 3. Цилиндр снабжён спицами 4 с перемещаемыми по ним дисками 5. Пружина обладает продольной (k) и крутильной (G) жесткостью, поэтому цилиндр может совершать как продольные, так и крутильные колебания. 
Если отклонить цилиндр в вертикальном направлении без поворота вокруг своей оси, то на него будет действовать возвращающая сила
F = - kx.
В этом случае уравнение динамики поступательного движения
(m – полная масса цилиндра, включая спицы с дисками) можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний
,
где 
(1)
|
|
|
- частота продольных колебаний.
Если повернуть цилиндр вокруг своей оси на некоторый угол φ без отклонения в вертикальном направлении, то на него будет действовать возвращающий момент силы относительно этой оси:
В этом случае уравнение динамики вращательного движения
(I - полный момент инерции цилиндра, включая спицы с дисками) можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний
,
где 
(2)
- частота крутильных колебаний.
В соответствии с формулами (1) и (2) периоды продольных и крутильных колебаний равны:
(3)
(4)
Величину T к можно регулировать, изменяя момент инерции тела I путем перемещения дисков 5 вдоль спиц 4, при этом период Т п не изменяется, так как масса тела mостаётся постоянной.
Полный момент инерции тела равен
I = I 0 + 2 m 0 l2, (5)
где I 0 - момент инерции тела со снятыми дисками, m 0 - масса одного диска, l – расстояние дисков от оси цилиндра (предполагается, что диски смещаются всегда симметрично относительно оси цилиндра).
Подстановка (5) в (4) приводит к следующей линейной зависимости T к 2 от l2:
(6)
Эту зависимость, во-первых, можно использовать в качестве калибровочного графика для определения T к при различных положениях дисков на спицах. Во-вторых, из наклона этой прямой 
можно найти крутильную жесткость пружины
(7)
Рассмотрим теперь условия, при которых в данной колебательной системе может наблюдаться режим биений.
Пружина, применяемая в установке, обладает следующим свойством: при растяжении (или сжатии) её нижний конец слегка раскручивается (или закручивается) относительно верхнего закреплённого конца. Это приводит к тому, что продольные и крутильные колебания цилиндра оказываются хотя и слабо, но всегда связанными между собой. В результате такой связи продольные и крутильные колебания накладываются друг на друга – возникают суммарные колебания – так называемые биения. Биения отличаются от обычных гармонических колебаний тем, что их амплитуда изменяется по времени по закону
,
где 
.
В условиях, когда частоты ω пи ω к близки друг другу, частота биений Δ ω/2 оказывается достаточно низкой, а их период значительно превышает величины T пи T к (рис. 2).
Т п
Продольные колебания
0 t
Т п
Крутильные колебания
t
А п Т б
0 t
А к Т б
0 t
Рис. 2.
С энергетической точки зрения явление биений представляет собой периодическую перекачку энергии от одной степени свободы к другой, при этом максимум амплитуды продольных колебаний соответствует минимуму крутильных колебаний и наоборот.
|
|
|
За период биений принимают величину, равную промежутку времени между двумя ближайшими минимумами амплитуды, при этом
Отсюда получаем следующую зависимость T б от T к:
(8)
Из графика этой зависимости (рис. 3а) видно, что при приближении T кк T п период биений резко возрастает.
Для экспериментальной проверки формулы (8) удобно представить ее в виде
. (9)
Согласно (9) зависимость T бот T к должна иметь вид двух отрезков прямых линий, сходящихся в точке на оси абсцисс, где периоды продольных и крутильных колебаний совпадают (1 /T к = 1 /T п) (рис. 3б). Наклоны этих прямых должны быть равны
. (10)
