Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х = О 1 О 2.
Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О 1 и О 2, не имеющих общих точек, то О 1 = CO 2 и O 2 = CO 1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1) существуют непустые открытые множества О 1 и О 2, для которых О 1 ∩ О 2 = Æ и О 1 О 2 = Х;
(2) существуют непустые замкнутые множества F 1 и F 2, для которых F 1 ∩ F 2 = Æ и F 1 F 2 = Х;
|
|
(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
(4) существует непрерывная сюръективная функция φ: Х ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О 1 и О 2 непустые открытые множества, для которых О 1 ∩ О 2 = Æ и О 1 О 2 = Х. Рассмотрим множества F 1 = СО 1 и F 2 = СО 2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F 1 ∩ F 2 = Æ и F 1 F 2 = Х.
Из (2) следует (3). Пусть F 1 и F 2 непустые замкнутые множества, для которых F 1 ∩ F 2 = Æ и F 1 F 2 = Х. Рассмотрим множество G = F 1 Ì Х. Множество F 1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F 2 (F 1 = CF 2). Поэтому множество G = F 1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.
Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ: Х ® {1, 2}, при которой
φ (х)=
Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из (4) следует (1). Пусть φ: Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ (Х) = М. Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:
Х = φ –1(М) = φ –1(А В) = φ –1(А) φ –1(В),
причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О 1 = φ –1(А) и О 2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О 1 О 2.
Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F 1 и F 2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F 1 F 2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F 1, либо в F 2.
|
|
Доказательство. Пусть F 1 и F 2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F 1 F 2. Тогда
М = (М ∩ F 1) (M ∩ F 2).
Так как множества F 1 и F 2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F 1 и M ∩ F 2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F 2, пустое. Тогда
М = М ∩ F 1 Í F 1.
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О 1 и О 2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5. Пусть f: Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
Y = O 1 O 2.
В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G 1 = f –1(O 1) и G 2 = f –1(O 2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности.