2020-10-12
95
Рассмотрим три вектора a, b, c. Пусть [ ab ] = d. Тогда (dc) = [ ab ] c = (abc) – смешанное или векторно-скалярное произведение.
Геометрический смысл смешанного произведения.
d Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах a, b, c.
a, b, c – правая тройка. Пусть d = [ ab ].
c h 
= Sосн h, Sосн = | d|.
b
a
h = пр d c, 
= | d| 
= (dc) = (abc).
Пусть векторы a, b, c образуют левую тройку (вектор d направлен вниз).
c
h
a h = - , = - d 
=
|
|
|
b = - (abc).
d
Смешанное произведение есть число, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на ребрах.
Смешанное произведение в координатах.
Пусть векторы a, b, c заданы своими координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, с = {X3, Y3, Z3}.
Тогда
d = 
= 
.
(abc) = [ ab ] c = 
.
Справедливость равенства доказывается путем разложения определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
П р и м е р. Вычислить объем треугольной пирамиды, построенной на векторах AB = {3, 2, 4}, AC = {3, 5, -1}, AD = {2, 3, 5}.
D
 |
A C
B
V пирам = 1/3 V призмы = 1/ 6 V параллелепипеда. V параллелепипеда = |(abc) |
(abc) = 
= 14,
V пирамиды = 14/6 = 7/3.
Условие компланарности трех векторов.
Векторы a, b, c называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
a 
b Условие компланарности векторов
c
(abc) = 0
