2020-10-12
576
1. Дан параллелограмм АВСД. Построить векторы: а) - 2/3 АВ, б) 
АД, в) АВ + АД, г) ¾ АВ + 1/3 АД –2/3 ДА – ¼ ВА, г) АД + ½ АВ – ВС – ½ СД.
2. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О. Построить векторы а) FА + ВС – ЕО, б)½ ДЕ + ¾ ЕF – ½ В F + ½ ЕД.
3. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. N, К, М – середины ребер Д1С1, ВС, СС1. Построить Векторы а) АА1 + ДС – ДА – ½ АВ, б) С1С + 1/3 АД + Д1С1 – 2/3 С1В1 – ½ Д1Д, в) СК + С1Д1 – NД + АД.
4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что АМ = ½ (АВ + АС).
5. Дан тетраэдр АВСД. К – точка пересечения медиан грани ВСД. M, N, S – середины ребер СД, ВД, АС. Построить векторы
а) ВS + ½ АС – ½ КВ + 2/3 СN, б) 1/3 АС – 1/3 ВА – 2/3 СN + 1/3 АД.
6. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. М и N – середины ребер Д1С1 и АД,, О = В1С 
ВС1. Построить векторы: а)½ ВС + СС1 – ½ С1А1,
б) А1Д1 + ½ АВ – ВС1 - С1М + ½ (ВВ1 + ВС),
в) С1О + ½ СД – Д1А + 1/6 ВА – 2/3 В1А1 – ½ ВС.
7. Пусть а и в – произвольные векторы. Показать, что 1) | а + в | 
| а | +| в |, При каком условии в этом соотношении имеет место знак равенства,
2) | а - в | | а | +| в |. При каком условии в этом соотношении имеет место знак равенства, 3) Существуют ли векторы а и в, для которых
| а + в | < | а | и | а + в | < | в |, 4) Существуют ли векторы а и в, для которых
| а + в | > | а | и | а + в | > | в |.
а _
8. Доказать, что если вектор а 
0, то вектор | а | единичной длины и сонаправлен с вектором а.
9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства 1) ОР = ½ (ОА + ОВ), в частности СР = ½ (СА + СВ), 2) ОМ = 1/3 (ОА + ОВ + ОС).
10. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что
ОА + ОВ + ОС = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.
11. Основанием пирамиды МАВСД является параллелограмм АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что
МА + МВ + МС + МД = 4 МО.
12. В тетраэдре АВСД М, К, Р – середины ребер ВС, СД, ДВ. Доказать, что АВ + АД + АС = АМ + АК + АР.
13. В треугольной призме АВСА1 В1С1 М и М1 – точки пересечения медиан оснований АВС и А1В1С1. Доказать, что АА1 + ВВ1 + СС1 =
3 ММ1.
14. АВСД параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что ОА + ОС = ОВ + ОД.
15. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСД и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство ОА + ОС = ОВ + ОД, то АВСД – параллелограмм.
ЗАМЕЧАНИЕ.
1) Даны векторы с1, с2,...сп и числа α1, α2, … αп. Вектор
α1 с1 + α2 с2 + … + αп сп называется линейной комбинацией векторов
с1, с2, … сп, а числа α1, α2, … αп называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Если вектор а является линейной комбинацией векторов с1, с2,...сп, т.е.
а = α1 с1 + α2 с2 + … + αп сп, то будем говорить, что вектор а выражен через векторы с1, с2, …сп или что вектор а разложен по векторам с1, с2, …сп.
2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор а мы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая задачу 3.
ЗАДАЧА № 3
Дан тетраэдр АВСД. К – середина ребра ВС, точка М принадлежит ребру АД и ДМ = 1/3 ДА. ДМ = а, СА = в, АК = с. Выразить вектор ВД через векторы а, в, с.
РЕШЕНИЕ.
1) Представим вектор ВД как сумму двух векторов: ВД = ВС + СД. (1)
2) Теперь постараемся вектор ВС представить в виде линейной комбинации векторов а, в, с.
ВС = 2 КС = 2 (КА + АС) = 2 (-с + в) (2).
3) Теперь выразим вектор СД как линейную комбинацию векторов а, в, с.
СД = СА + АД = в + 3 МД = в – 3 а. (3)
4) В равенство (1) подставит разложения векторов ВС и СД из равенств (2) и (3). ВД = 2 (-с + в) + в – 3 а = -3 а + 3 в – 2 с.
ОТВЕТ. ВД = -3 а + 3 в – 2 с.
16. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О.
а) Выразить векторы ВС, ВЕ, АЕ через векторы FА и FО.
б) Выразить векторы ВС, ВЕ, FД через векторы ВА и ВД.
17. АВСД – тетраэдр. М, N, Р, Q – середины ребер АД, АВ, ВС, СД.
а) Выразить векторы МN и РА через векторы АВ, ВД, ДС.
б) Выразить векторы АР и Q N через векторы АС, А N, АД.
18. АВСДА1В1С1Д1 – куб. О = В1С 
ВС1, М – середина АВ.
а) Выразить вектор АО через векторы АС, АД, ВД1.
б) Выразить векторы СМ, Д1О, СА1 через векторы АС, АД, АА1.
ЗАДАЧА № 4
Дан угол АОВ, выразить через векторы ОА и ОВ какой либо вектор, параллельный биссектрисе этого угла
|
|
Построим параллелограмм ОАСВ. По правилу параллелограмма вектор ОС = ОА + ОВ. Если длины векторов ОА и ОВ не равны, то ОС не является биссектрисой угла АОВ. Если ж длины этих векторов равны, то ОАСВ – ромб, а т.к. диагонали ромба делят его углы пополам, то ОС будет
ОА ОВ
биссектрисой угла АОВ. По задаче 8 векторы | ОА | | ОВ | сонаправлены с векторами ОА и ОВ и каждый из них имеет длину единица, обозначим эти векторы а и b, сумма векторов а + b = ОС1 будет параллельна биссектрисе угла АОВ.
ОТВЕТ. Вектор ОА + ОВ параллелен биссектрисе угла АОВ.
| ОА | | ОВ |
