Скалярное произведение векторов

           Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведения длин этих векторов и косинуса угла между ними

     а b = │ а ││ b │cos (а b ).

          Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами. Для любых векторов а, b, c и любого числа λ

     1) а b = b a, 2) ( a + b) c = a c + b c, 3) (λ a ) b = a (λ b ) = λ ( a b ).

           Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе { i, j, k } а (а₁,а₂,а₃), b (b₁,b₂,b₃), то имеют место формулы

                                                                          ___________

       a b = а₁ b₁ + а₂  b₂ + а₃ b₃,      │ а │= √а₁² + а₂² + а₃²

                                                      ______ а₁ b₁ + а₂  b₂ + а₃ b₃____

                          cos (а, b ) =      √а₁² + а₂² + а₃² √b₁² + b₂² + b₃²

 42. АВСД – ромб с углом А равным 60° и стороной АВ равной 4. Найти скалярное произведение ДА ДВ.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

43. М – точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС со стороной равной 2. Найти скалярное произведение МА МВ.

44. АВСД – квадрат стороной равной 5. Найти скалярное произведение    АВ  СА.

 

 ЗАДАЧА   № 9

Даны неколлинеарные векторы а и в.  Дать геометрическое истолкование формулы (а + в)² +  (а – в)² = 2(а ² + в ² )

РЕШЕНИЕ

        От произвольной точки А отложим векторы АВ = а, АД = в и построим параллелограмм АВСД. Тогда АВ = ДС = а,   АД = ВС = в,   АС = а + в, ДВ = а – в. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то (а + в)² = | а + в |² = | АС |² =| АС |²,  (а – в)² = | а - в |² = | ДВ |² = | ДВ |²,

      а ² =| а |² = | АВ |² = | АС |² = | АВ |² = | АС |², в ² =| в |² = | АД |² = | ВС |² =

          | АД |² = | ВС |².

      Следовательно, данное равенство(а + в)² +  (а – в)² = 2(а ² + в ² )

  можно переписать в виде | АС |² + | ДВ |² = | АВ |² + | АС |² +

     +   | АД |² + | ВС |².Таким образом,  данное в условии равенство имеет следующее геометрическое истолкование:

     В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. ■

 

45. Даны неколлинеарные векторы а и в. Дать геометрическое истолкование формул 1) (а + в)² -  (а – в)² = 4 а в, 2) (а + в) (а – в) = а ²- в ² .

46. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов 1) | а | а = а ², 2) (а + в)² = а ² + 2ав + в ² , 3) (а в)² = а ² в ²  ?

 

ЗАДАЧА № 10

      Дан базис { е₁,е₂,е₃ }.  Зная координаты векторов а (а₁,а₂,а₃), в (в₁,в₂,в₃), длины базисных векторов и углы между базисными векторами, выразить скалярное произведение векторов а и в через их координаты в данном базисе.

РЕШЕНИЕ

Так как а (а₁,а₂,а₃), в (в₁,в₂,в₃), то по определению координат вектора, получим: а = а₁ е ₁ + а₂ е ₂ + а₃ е ₃,  в = в₁ е ₁ + в₂ е ₂ + в₃ е ₃. Тогда, подставив в скалярное произведение а в вместо векторов а и в их разложение по базисным вектора и используя свойства скалярного произведения, получим

а в = (а₁ е ₁ + а₂ е ₂ + а₃ е ₃)(в₁ е ₁ + в₂ е ₂ + в₃ е ₃) = а₁ в₁ (е ₁ е ₁) + а₂ в₂ (е ₂ е ₂) +

а₃в₃(е ₃ е ₃) + (а₁в₂ + а₂в₁)(е ₁ е ₂) + (а₁в₃ + а₃ в₁)(е ₁ е ₃) + (а₂в₃ + а₃в₂)(е ₂ е ₃) = а₁в₁│ е ₁│² + а₂в₂│ е ₂│² + а₃в₃│ е ₃│² + (а₁в₂ + а₂в₁)│ е ₁││ е ₂│Соs (е ₁, е ₂) + (а₁в₃ + а₃в₁)│ е ₁││ е ₃│Соs (е ₁, е ₃) +(а₂в₃ + а₃в₂)│ е ₂││ е ₃│Соs (е ₂, е ₃).

 

ОТВЕТ.

а в = а₁в₁│ е ₁│² + а₂в₂│ е ₂│² + а₃в₃│ е ₃│² + (а₁в₂ + а₂в₁)│ е ₁││ е ₂│Соs (е ₁, е ₂) + (а₁в₃ + а₃в₁)│ е ₁││ е ₃│Соs (е ₁, е ₃) +(а₂в₃ + а₃в₂)│ е ₂││ е ₃│Соs (е ₂, е ₃).