Преобразование координат точек на плоскости

 

На плоскости даны две системы координат Ι = (О, е₁,е₂) и

Ι Ι = (О’, е₁ ’, е₂ ’). О’(х_о,у_о) _Ι, е₁ ’(а,b) _(е1,е2), е₂ ’(c,d) _(е1,е2) . Если любая точка плоскости М имеет в первой системе координат координаты М(х,у), а во второй системе координат координаты М(х’,у’), то формулы, связывающие координаты точки М в первой и во второй системах координат, имеют вид

              х = а х’ + с у’ + х_о,

                у  = bx’ + d у’  + у_о.          (1)

Эти формулы называются формулами преобразования координат.

Отметим, что в этих формулах столбец из коэффициентов при х’- это координаты вектора е₁ ’, столбец из коэффициентов при у’- это координаты вектора е₂ ’, а столбец из свободных членов – это координаты точки О’

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие одной ориентации, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

          х = х’ cos φ - y’ sin φ + х_о,

          y = x’ sin φ + y’ cos φ + у_о.   (2)

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие разным ориентациям, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

          х = х’ cos φ + y’ sin φ + х_о,

          y = x’ sin φ - y’ cos φ + у_о.     (3)

В формулах (2) и (3) φ – это направленный угол между векторами   i и i ’ . 

  Формулы (2) и (3) называются формулами преобразования прямоугольных декартовых координат.

 

 

144. Даны две системы координат Ι = (О, е₁,е₂) и Ι Ι = (М, е₁, е₂).Зная координаты точек А(2,3), В(-5,4), С(0,2), М(7,-1) в системе координат Ι, найти координаты точек А, В, С в системе координат Ι Ι.

145. АВСД – прямоугольник. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (А, АВ, АД) к системе координат (С, СА, ½ СВ).

146. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е₁,е₂) к системе координат Ι Ι = (Оٰ , е₁ ٰ ,е₂ ٰ ).

1) Оٰ (0,2), е₁ ٰ(0,2), е₂ ٰ (-7,0),

2) Оٰ (1,1), е₁ ٰ(1,4), е₂ ٰ (2,5).

147. О – почка пересечения медиан треугольника АВС. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, ОА, АВ) к системе координат (А, АВ, АС).

148. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е₁,е₂) к системе координат Ι Ι = (Оٰ, е₁ ٰ ,е₂ ٰ ), зная координаты точки О в Ι системе координат О(1,0) и координаты векторов е₁,е₂ в базисе (е₁ ٰ ,е₂ ٰ ) е₁ (1,1), е₂ (0,2).

149. Даны две системы координат Ι = (О, е₁,е₂) и Ι Ι = (О, е₁ ٰ ,е₂ ٰ ) с общим началом. Даны координаты е₁ (1,-1) ,е₂ (2,5) в базисе (е₁ ٰ ,е₂ ٰ ). Зная координаты точки М(-3,1) в системе координат  Ι, найти координаты этой точки в системе координат Ι Ι.

150. Дан параллелограмм АВСД с центром О и две системы координат Ι = (А, АС, АД), Ι Ι = (О, ОД, ОА). Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι  к системе координат Ι Ι.

151. Записать формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, i, j) к системе координат (Оٰ, i ٰ ,j ٰ )  в каждом из следующих случаев:

1) i ٰ =  i  + j,   Оٰ (-3, ) и обе системы координат принадлежат одной ориентации.

2) Направленный угол между векторами i  и  i ٰравен30°, Оٰ (0,-2) и данные систем ы координат принадлежат разным ориентациям.

152. АВСД – квадрат с центром О и единичной стороной. Даны две системы координат Ι = (А, АВ, АД) и Ι Ι =(О, i ٰ ,j ٰ ), где  i ٰ  ↑↑ ОД,

j ٰ ↑↑ ОС.   Точка имеет координаты М(,3 ) во Ι Ι системе координат. Найти координаты точки М в Ι  системе координат.

 

ЗАДАЧА № 24

АВСД – параллелограмм с центром М. Выяснить существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в двух системах координат (В, ВС, ВД) и (М, МА, МВ).

 

РЕШЕНИЕ 

1) Найдем координаты точки М в первой системе координат. Так как

ВМ = ½ ВД, то М(0,1/2)

     2) Найдем координаты векторов МА и МВ в базисе (ВС, ВД)

МА = МД + ДА = ½ ВД – ВС, следовательно, МА (-1,1/2)

МВ = -1/2 ВД, следовательно МВ (0, -1/2)

3) Составим формулы преобразования координат при переходе от первой

  системы координат ко второй

                 х = -хٰ + 0 уٰ + 0

                 у = ½ хٰ - ½ уٰ + ½        (1)

4) Найдем точки, которые имеют одинаковые координаты в данных системах координат, т.е. точки, для которых х = хٰ, у = уٰ. Для этого в формулах подставим вместо хٰ - х, а вместо уٰ  - у, получим систему уравнений

х = -х

у = ½ х – ½ у + ½.

Эта система имеет единственное решение х = 0, у = 1/3, Следовательно, существует единственная точка М(0, 1/3), имеющая одинаковые координаты в двух данных системах координат.

 

ОТВЕТ. М(0, 1/3)

 

     153. В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найти точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (А, АВ, АС) и (О, ОВ, ОС).

154. АВСДEF – правильный шестиугольник. Зная координаты точки М(2,1) в системе координат (А, АВ,АД),, найти координаты точки М в системе координат (С, СВ, СД).

155. АВСДEF – правильный шестиугольник с центром О. Даны две системы координат Ι  = (В, ВС, ВА) и Ι Ι = (Е, ЕО, ЕД). Зная координаты точки М(4,3) во Ι Ι системе координат, найти координаты точки М в Ι  системе координат.

156. АВСД – квадрат с центром О. Существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (С, СД, СВ) и (О, ОА,ОД)?

157. ОС – высота прямоугольного треугольника ОАВ с катетами

 ОА = 3, ОВ = 1. М – середина АВ. Составить формулы преобразования координат при переходе от систему координат (О, i, j) к системе координат (М,  i ٰ , j ٰ ), где, i ↑↑ОА, j ↑↑ОВ, ,  i ٰ ↑↑ МА, j ↑↑ СО.

 

ОКРУЖНОСТЬ

Окружностью (М_о, r) с центром М_о и радиусом r называется множество всех точек М плоскости, расстояние от каждой из которых до точки М_о равно радиусу r.

Дана прямоугольная декартова система координат (О, i, j ), М_о(х_о, у_о), тогда уравнение окружности (М_о, r) имеет вид

           (х – х_о)² + (у – у_о)² = r²

Если дано уравнение х² + у² + Ах + Ву + С =0, то чтобы узнать является ли это уравнение уравнением окружности, надо выделить полные квадраты членов.содержащих х, и членов, содержащих у, получится уравнение

     (х + ½ А) ² + (у + ½ В)² = ¼ А² + ¼ В² –С.    (*)

    Уравнение (*) является уравнением окружности, если

¼ А² + ¼ В² –С > 0.

 

Во всех задачах этого пункта система координат прямоугольная декартова.

158. Составить уравнение окружности с центром А(-1, 3) и радиусом

 r = 4.

159. Составить уравнение окружности радиуса r =5 с центром в начале координат.

160. Определить координаты центра М и радиус каждой из следующих окружностей:

1) х² + у² – 6х = 0,

2) х² + у² + 6х - 8у =0,

3) х² + у² – 10х + 24у – 56 = 0,

4) 3х² + 3у² + 6х - 4у – 1 = 0.

161. Выяснить, какие из данных уравнений являются уравнением окружности. Найти координаты центра и радиус.

1) х² + у² -2х + 4у -20 = 0,

2) х² + у² + 8х - 4у + 40 = 0,

3) х² + ху – 2х = 0,

4) х² + 2ху + 2у²  - 3х + у + 5 = 0,

5) х² + у²  - 2х = 0,

6) х² + у²  + 2у + 8 = 0,

7) х² + у²  - 4х -2у + 1 = 0.

162. Определить положение точек А(3,1), В(1,0), С(-2,0), Д(-2,1) относительно окружности х² + у²  - 1 = 0.

163. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям

1) (х – 1)² + (у – 3)² ≥ 25,

2) 16 ≤ (х – 1)² + (у + 3)² ≤ 25.

3) (х – 1)² + (у - 2)² ≤ 25, (х – 4)² + (у -6)² ≤ 9.

 

ЗАДАЧА № 25

Дана прямоугольная декартова система координат. Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке А(4,0) и проходящей через точку В(1,1).

 

РЕШЕНИЕ

 

1) Пусть центр искомой окружности находится в точке М(х,у). Так как окружность касается оси ОХ в точке А(4,0), то МА это радиус проведенный в точку касания, следовательно, по свойству касательной окружности радиус МА перпендикулярен оси ОХ. Значит проекцией точки М на ось ОХ является точка и поэтому х = 4, т.е. М(4,у).

2) Так как данная окружность проходит через точки А и В, то расстояние от точек А и В до центра равны радиусу и, следовательно, равны между собой, т.е. │АМ│ =│ВМ│. Отсюда получаем уравнение

______________   ______________

√(4 – 4)² + (у – 0)² = √(4 – 1)² + (у - 1)² или у² = 9 + (у – 1)²

Это уравнение имеет одно решение у = 5. Следовательно, центр окружности М(4,5).

3)Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки А, т.е.

                   ______________

r = │АМ│= √(4 – 4)² + (5 – 0)² = 5.

4) Уравнение окружности с центром М(4,5) и радиусом r = 5 имеет вид (х – 4)² + (у – 5)² = 25

 

ОТВЕТ. Искомая окружность имеет уравнение (х – 4)² + (у – 5)² = 25.

.

164.Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке (6,0) и проходящей через точку (9,9).

165. Составить уравнение окружности, центр которой лежит на оси ОУ и которая касается оси ОХ.

166. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки А(-1,-1) и В(7, -1).

167. Составить уравнение окружности с центром в точке А(1,-3) и проходящей через точку В(3,5).

168. Составить уравнение окружности радиуса  r = , проходящей через точки А(2,7) и В(-2,1).

169. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(2,2) и В(3,3), если ее центр лежит на прямой 3х - у - 3 = 0.