Простейшая вариационная задача

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

_______________________________________________________________

 

 

Голоскоков Д.П.

 

Методические указания

и

Варианты курсовой работы

По дисциплине

«ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ»

 

 

Санкт-Петербург

2012

УДК 517

ББК 22.3

 

Рецензент:                   д.т.н., профессор Сухотерин М.В.

 

Голоскоков Д.П.

Методические указания и варианты курсовой работы по дисциплине «Вариационные методы в математической физике». – СПб: СПГУВК, 2012. – 79 с.

 

Методические указания содержат краткие теоретические сведения, варианты заданий для курсовой работы по дисциплине "Вариационные методы в математической физике" и примеры решения задач.

Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010400.62 – "Прикладная математика и информатика".

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций

 

 

УДК 517

ББК 22.3

 

© Голоскоков Д.П., 2012

© Санкт-Петербургский государственный
университет водных коммуникаций, 2012

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие указания. 4

Краткие теоретические сведения из вариационного исчисления. 5

Простейшая вариационная задача. 5

Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом 7

Прямые методы вариационного исчисления. 8

Конечно-разностный метод Эйлера. 8

Метод Ритца. 9

Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа. 10

Метод Бубнова–Галеркина. 13

О координатных функциях. 13

Варианты заданий для курсовой работы.. 15

Примеры решения задач. 45

Рекомендуемая литература. 54

 

 

Общие указания

По дисциплине "Вариационные методы в математической физике" студенты выполняют одну курсовую работу. Целью работы является закрепление на практике полученных теоретических знаний и приобретение навыков применения приближенных (вариационных) методов решения задач математической физики.

Отчет о работе оформляется на отдельных листах формата А4 в текстовом редакторе Word с применением встроенного редактора формул или редактора формул Math Type.

Для выполнения работы можно использовать какие-либо программы символьных вычислений (рекомендуется Maple). В этом случае в отчет можно включить распечатки рабочих листов (Worksheet) с соответствующими комментариями.

Краткие теоретические сведения из вариационного
исчисления

Простейшая вариационная задача

В курсе вариационного исчисления рассматриваются задачи исследования на экстремум функционалов. Функционалом называется правило, по которому каждой функции из некоторого их класса ставится в соответствие число. Рассмотрим функционал, зависящий от функции одной переменной и её производной:

                          (1)

с заданными граничными условиями:

                                                (2)

где F (x, y, y ¢) — непрерывная функция трёх переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.

Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремальной функции y ₀(x):

    .                                             (3)

Вариация функционала dJ — это главная, линейная относительно вариации функции dy, часть его приращения DJ. В нашем случае dJ (y) вызывается вариацией независимой переменной — функции y (x) и её производной y ¢(x): y (x) = y ₀(x)+ dy (x); y ¢(x) = y ¢₀(x)+ dy ¢(x); причём в силу граничных условий на концах интервала dy (x ₁) = dy (x ₂) = 0.

Вычислим вариацию функционала как линейную часть его приращения. Для этого разложим F (x, y ₀+ dy ₀, y ¢₀+ dy ¢) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной функции с удержанием только линейных членов, а затем проинтегрируем по частям:

    (4)

Так как вариация функции dy (x) — произвольная, то в силу основной леммы вариационного исчисления первый сомножитель под интегралом должен равняться нулю. Таким образом, функция, на которой достигается экстремум, должна удовлетворять дифференциальному уравнению

    .                                                   (5)

Уравнение (5) называется дифференциальным уравнением Эйлера. Оно является в общем случае уравнением второго порядка и дополняется двумя граничными условиями (2). Любое его решение называется экстремалью. Это кривая, на которой может достигаться экстремум.

Так как уравнение Эйлера дополняется не начальными, а граничными условиями, то теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения здесь неприменима. Иными словами, экстремаль не обязательно существует, а если существует, то не обязательно единственна. Всё зависит от вида уравнения Эйлера (5) и разрешимости системы уравнений для граничных условий (2).

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Эйлера (5).

1. Подынтегральная функция F не зависит от производной y ¢ или зависит от неё линейно. В этом случае уравнение Эйлера становится алгебраическим, в его решении нет произвольных постоянных, и оно не обязательно удовлетворяет условиям (2). Если граничные условия (2) удовлетворяются, то мы получили экстремаль, а если нет – то нет и решений у данной вариационной задачи.

2. Частный случай для случая 1: F = P (x, y)+ y ¢ Q (x, y), причём ¶ P /¶ y = ¶ Q /¶ x. В этом случае уравнение (5) обращается в тождество 0 = 0, и экстремалью будет любая кривая, соединяющая точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂). Криволинейный интеграл (1) в этом случае не зависит от линии интегрирования, и вариационная задача теряет смысл.

3. Подынтегральная функция F не зависит явно от y. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл F_{y ¢} = C ₁. Это уравнение первого порядка, и оно решается легче, чем исходное уравнение второго порядка.

4. Если подынтегральная функция F не зависит явно от x, то уравнение Эйлера также имеет первый интеграл вида F - y ¢ F_{y ¢} = C ₁. Действительно, уравнение Эйлера (5) можно записать в виде F_y - F_{xy ¢} - F_{yy ¢} y ¢ - F_{y ¢ y ¢} y ¢¢ = 0. Из-за явной независимости от x это выражение имеет вид F_y - F_{yy ¢} y ¢ - F_{y ¢ y ¢} y ¢¢ = 0. Но такой же вид имеет и полная производная по x от выражения F - y ¢ F_{y ¢} = C ₁: d (F - y ¢ F_{y ¢})/ dx = = F_yy ¢ + F_{y ¢} y ¢¢ - y ¢¢ F_{y ¢} - y ¢(F_{yy ¢} y ¢+ F_{yy ¢} y ¢¢) = F_yy ¢ - F_{yy ¢} y ¢² - F_{yy ¢} y ¢ y ¢¢ = 0, что после сокращения на y ¢ совпадает с уравнением Эйлера.

Чтобы проверить, действительно ли достигается экстремум на найденной экстремали, нужно воспользоваться достаточными условиями экстремума. Простейшее из них — это условие Лежандра. Для его применения нужно вычислить F_{y ¢ y ¢} и проверить знак этого выражения на кривых, близких к экстремали. Если F_{y ¢ y ¢} > 0 для всех y (x), близких к экстремали, и для любых y ¢(x), то на данной экстремали достигается сильный минимум. Если же неравенство F_{y ¢ y ¢} > 0 выполняется для всех y (x), близких к экстремали, но только для y ¢(x), близких к экстремали, то достигается слабый минимум. При F_{y ¢ y ¢} < 0 достигается максимум (соответственно сильный или слабый).

Решение вариационной задачи, функционал которой
представляется кратным интегралом

Ход рассуждений для определённого, двойного и тройного интегралов одинаков. Приведём эти рассуждения для двойного интеграла (рис. 1). Рассмотрим функционал

.

Здесь .

Вариационная задача:

            (6)

Здесь Γ – граница области D. Предполагаем, что Γ непрерывна и имеет непрерывные производные 1-го и 2-го порядков по своим аргументам; .

Пусть  — решение задачи (6). Образуем функции сравнения

,

причём . Тогда, очевидно,  и .

Рассмотрим разность

.

Отсюда получаем необходимое условие экстремума

,

или, в явном виде,

.

Исключим . Для этого введём функцию η под знак производной:

,

откуда

.

Воспользуемся известной формулой Грина

для второго интеграла в последнем равенстве. Получим:

.

А так как , то получаем уравнение Эйлера в следующем виде:

.                    (7)

Уравнение (7) — дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. В случае, когда , мы имеем вариационную задачу для функционала

,

а соответствующее уравнение Эйлера будет таким:

.