Закон фильтрации вязкопластичной жидкости в идеальной пористой среде

Пусть имеем идеальный грунт, образованной одной системой капилляров (см. рис. 1.12), тогда течение в каждом капилляре описывается формулой Бэкингема (10.2). Однако при описании фильтрации ВПЖ в идеальных пористых средах обычно пользуются приближенной формулой (10.2), в которой пренебрегают последним слагаемым в квадратных скобках. В результате для описания «фильтрационного» течения ВПЖ в капилляре имеем формулу вида:

(10.3)

Заметим, что формула (10.3) так же, как и формула (10.2), определяет истинную среднюю скорость фильтрации при приложении градиента давления только вдоль оси симметрии капилляра.

Чтобы перейти от истинных средних скоростей к скоростям фильтрации, необходимо подсчитать расход через элементарную ячейку и «размазать» его по всей грани ячейки, т.е. умножим соотношение (10.3) на и полученный результат разделим на а² (размеры элементарной ячейки, см. рис. 1.12). В результате такого преобразования приближенной формулы получим

(10.4)

где ω – модуль скорости фильтрации.

Соотношение (10.4) определяет скорость фильтрации в одной системе капилляров в случае, когда направление градиента давления совпадает с направлением оси симметрии капилляра. Очевидно, что в общем случае взаимная ориентация оси симметрии и направления градиента давления может быть произвольной. Поэтому необходимо рассмотреть модельную задачу о фильтрации ВПЖ в одной системе капилляров. Приведем без вывода результат такого преобразования

(10.5)

где l_i - орт, задающий направление оси симметрии системы капилляров (заметим, его направление совпадает с направлением вектора скорости фильтрации);

- модуль скалярного произведения орта и градиента давления,

- значение предельного градиента для системы капилляров,

проницаемость. Латинские индексы i и j обозначают компоненты векторов и тензоров, и по ним подразумевается суммирование.

Выписанное соотношение (10.5) еще не определяет закон фильтрации ВПЖ, так как оно задает лишь уравнение фильтрации при выполнении условия начала течени я (в изотропном случае). Поэтому, для того чтобы записать закон фильтрации ВПЖ в идеальном грунте, образованном одной системой капилляров, необходимо сформулировать условие начала течения. В качестве условия начала течения можно задать неравенство, которое следует из условия отрицательности работы сил трения при движении жидкости в пористой среде

(10.6)

После подстановки в неравенство (10.6) уравнение фильтрации (10.5) условие начала течения в направлении l_i принимает вид

Из последнего неравенства следует

(10.7)

Таким образом, в модели идеального грунта, образованного одной системой капилляров, течение ВПЖ начинается при условии, что длина проекции вектора градиента на направление оси симметрии капилляров превышает предельный градиент, который представляется в виде 4γ/3. После определения условия начала течения линейный закон фильтрации вязкопластичной жидкости в идеальном грунте запишется в виде

при (10.8)

при

Понятно, что аналогичные рассуждения можно произвести и для формулы Бэкингема (т.е. без отбрасывания нелинейного слагаемого). Тогда получим нелинейный закон фильтрации в виде

при (10.9)

при

Отметим, что в условии начала течения в (10.9) стоит значение γ, а в законе фильтрации (10.8) стоит значение предельного градиента, умноженное на численный коэффициент. Данное обстоятельство обусловлено линеаризацией точного решения при переходе к закону течения ВПЖ, используемому в теории фильтрации. Численный множитель можно рассматривать как коэффициент формы.

Законы фильтрации (10.8) и (10.9) можно обобщить на случай изотропных пористых сред. В случае изотропных пористых сред линейный и нелинейный закон фильтрации ВПЖ принимают, естественно, следующий вид

при (10.10)

при

при (10.11)

при

где - модуль градиента давления.

Законы фильтрации (10.8) - (10.11) выписаны в индексной форме записи. Нелинейный закон фильтрации (10.11) записывается в виде

при

при.

Самостоятельно:

Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток вязкопластичной жидкости /Басниев 2005, стр. 296/,

Плоскорадиальный фильтрационный поток ВПЖ /Басниев 2005, стр. 301/

Неустановившаяся фильтрация ВПЖ /Басниев 2005, стр. 303/