Гармонические колебания и их парамеиры

Постановка задачи

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

РАЗДЕЛ 2 ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

По виду элементов.

а) Резистивная цепь состоит только из резисторов R;

б) Реактивная цепь состоит только из L и C;

в) RC – цепь;

г) RL – цепь;

д) RLC – цепь.

Цепи, содержащие пассивные элементы, называются пассивными цепями. Цепи, содержащие активные элементы (транзисторы, лампы, ОУ), называются активными цепями. Пассивные цепи не усиливают сигнал, а активные - усиливают.

Любой сложный по форме сигнал можно разложить на ряд простых сигналов, например, гармонических. Этот ряд называют спектром сигнала. Для линейных цепей применим принцип суперпозиции (наложения). Суть его в том, что если воздействие представлено суммой воздействий, то отклик будет также состоять из суммы откликов, полученных от каждого воздействия в отдельности.

Этот принцип лежит в основе многих методов анализа (расчета) линейных цепей, в частности, в спектральном методе (метод Фурье). В связи с этим нужно научиться рассчитывать цепь при воздействии одной гармоники – гармонического сигнала.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что если воздействие гармоническое x(t) = Х_m∙ cos(ω t + φ₀) с частотой w, то и отклик получится гармоническим y(t) = Y_m∙ cos(ω t + φ_y) с той же частотой w.

Cледовательно, решение задачи по расчету отклика y(t) сводится к определению только двух из трех параметров - Y_m и φ.

Пусть воздействие x(t) = Х_m∙ cos(ω t+ φ₀), например, u(t) = U_m∙ cos(ω t + φ₀). Здесь

X_m – амплитуда (максимальное значение) колебаний;

X = X_m /√2‾ - действующее значение;

ω – угловая частота [рад/с];

f = 1 /T - циклическая частота [Гц];

T – период колебаний [с];

θ (t) = (ω t + φ₀) – аргумент косинуса называется полной фазой (просто фаза) гармонического колебания;

φ₀ = θ ( 0 ) – начальная фаза. Она определяет значение гармонической функции при t = 0 – x (0) = Х_m ∙cos(φ₀), т.е. определяет положение гармонической функции на оси времени, изменяется в пределах отрезка [–π, π].

Пусть θ (t ₀ ) = (ω t ₀ + φ₀) = 0. Тогда u (t ₀ ) = Um∙ cos(ω t ₀ + φ₀) = U_m - гармоническое колебание имеет максимальное значение. Следовательно, точка t ₀ на оси времени определяется начальной фазой при заданной частоте ω

t ₀ = – φ₀/ω.

Сравнение двух гармонических колебания одинаковой частоты ω.

Пусть u₁ (t) = U₁∙ cos(ω t + φ₁), u₂ (t) = U₂∙ cos(ω t + φ₂).

t

t 02

t 01

Два гармонических колебаний можно сравнивать между собой не только по амплитуде, но и по начальной фазе, т.е. по положению на оси времени (см. рис.). Можно принять, что точки t = t₀₁ и t = t₀₂ являются началом функций, т.е. началом координат двух сигналов. Тогда, по значению разности t₁₂ = t₀₁ - t₀₂ можно определить какой из сигналов опережает другой сигнал. Если t₁₂ > 0, то говорят, что колебание u₁ (t) опережает по фазе колебание u₂ (t). Если же t ₁₂ < 0, колебание u₁ (t) отстает по фазе от u₂ (t). Этот вывод можно сделать на по разности времени t₁₂, а по величине ψ₁₂ = φ₀₁ – φ₀₂, называемой «сдвиг по фазе», т.е. разности начальных фаз.

Таким образом, если ψ₁₂ > 0, то колебание u₁ (t) опережает по фазе колебание u₂ (t). Если ψ₁₂ < 0, колебание u₁ (t) отстает по фазе от u₂ (t). При ψ₁₂ = ± π колебания противофазны. При ψ₁₂ = ± π/2 колебания находятся во временной квадратуре.