ТЕМА 6 ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
Вопросы для самопроверки
1. В чём заключается принцип оптимальности при динамическом программировании?
2. Какая методика решения задач с закреплённым левым концом методом динамического программирования в дискретной задаче?
3. Какие этапы решения задач с закреплённым левым концом методом динамического программирования в дискретной задаче?
4. Как получается уравнение Беллмана в непрерывной задаче?
5. Какая методика определения оптимального управления в непрерывной задаче с помощью уравнения Беллмана?
Принцип максимума Понтрягина является одним из основных методов решения задач оптимального управления с закреплённым правым концом и фиксированным временем управления . Рассмотрим сущность метода.
Пусть объект управления описывается векторным дифференциальным уравнением
(6.1)
и заданы начальное состояние объекта управления , область допустимых управлений и критерий качества
. (6.2)
Необходимо в классе допустимых управлений найти такое управление , при котором функционал на отрезке времени достигает минимального значения, т.е. выполняется условие:
.
Для решения задачи введём две дополнительные переменные:
1) переменная , определяемая уравнением
, (6.3)
из которого следует, что ;
2) переменная , подчинённая уравнению
. (6.4)
Из (6.4) видно, что . При
. (6.5)
С учётом новых переменных и введём -мерный модифицированный вектор состояния
(6.6)
и -мерный вектор – функцию
. (6.7)
Тогда уравнение состояния (6.1) примет вид:
, (6.8)
а начальное условие при
. (6.9)
Следовательно, задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом: в классе допустимых управлений найти такое управление, при котором траектория движения объекта пройдёт через начальную точку, а нулевая компонента вектора состояния в момент примет наименьшее значение, т.е.
; ; , =. (6.10)