Принцип максимума Понтрягина может быть использован для поиска оптимального управления и дискретных объектов. Рассмотрим задачу оптимизации для автономного объекта (без явной зависимости от времени ) с фиксированным временем, одномерным управлением со свободным правым концом траектории.
Пусть объект управления описывается системой нелинейных разностных уравнений
; ; , (6.28)
где - вектор состояния;
; - дифференцируемая функция
и заданы начальное состояние объекта и ограничения на управления . Показатель качества
. (6.29)
Необходимо найти такую последовательность управлений , , …, , принадлежащих области допустимых управлений , при которых показатель качества (6.29) достигает минимального значения, а траектория движения объекта управления проходит через заданную начальную точку .
Как и в случае непрерывной задачи введём новую переменную , удовлетворяющую уравнению
(6.30)
при нулевом начальном условии .
Из (6.30) видно, что при ;
при ;
при .
Поэтому задача сводится к минимизации значения компоненты модифицированного вектора состояния объекта .
|
|
Для нахождения оптимального управления составляется функция Гамильтона
(6.31)
и система сопряжённых уравнений в векторной форме
(6.32)
или в скалярной форме
, (6.33)
при граничных условиях .
Управление будет оптимальным, если функция Гамильтона принимает максимальное значение:
, (6.34)
где векторнаходится из уравнения (6.32) при граничном условии ;
вектор находится из (6.28) и (6.30) при заданном начальном условии и ;
функция Гамильтона определяется в соответствии с (6.31).
Соотношение (6.34) является необходимым условием минимума функционала .
Вычисление оптимальных дискретных управлений в соответствии с принципом максимума чаще решается с использованием ЭВМ и редко является аналитически решаемой задачей.