Проверка гипотезы о значимости нелинейных моделей

Показатели качества подгонки

Проверка адекватности нелинейной регрессии

1) Оценка тесноты корреляционной зависимости в случае нелинейной регрессии проверяется на основании индекса корреляции:

(3.3)

– остаточная (необъемлемая) уровнем дисперсия;

– общая дисперсия зависимой переменной Y;

Чем ближе R к 1, тем теснее связь.

2) Индекс детерминации

(3.4)

Определяет качество подгонки уровня к реальным данным. Чем ближе R² к 1, тем лучше качество подгонки.

3) Средняя ошибка аппроксимации

(3.5)

(3.5)

Если A в пределах 5-7%, то это свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

1. Выдвигают гипотезу о несущественности построенного уравнения регрессии. Далее рассчитывают F-статистику:

(3.6), где

R² – индекс детерминации

n – число наблюдений

m – число оцениваемых параметров

Определяют F_табл для степеней свободы V₁=m, V₂=n-m-1

Если F_расч>F_табл, то данную гипотезу отвергают, следовательно, уравнение признается существенным.

2. Выдвигается гипотеза о том, что связь между факторами линейная.

Рассчитывается t-статистика:

(3.7), где

R²_m – индекс детерминации для нелинейной зависимости

R²_n – коэффициент детерминации для линейной зависимости

Определяется t_табл со степенями свободы n-m-1 (m – число оцениваемых параметров).

Если |t_расч|<t_табл, то гипотеза отвергается и считается, что связь нелинейна.

На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, т. е. сводимыми к линейному виду, распространяются все методы проверки гипотез, используемые для классических линейных моделей регрессии.

Таким образом, если внутренне линейную модель регрессии можно свести к линейной модели парной регрессии, то на эту модель будут распространяться все методы проверки гипотез, используемые для парной линейной зависимости.

Проверка гипотезы о значимости линейной модели множественной регрессии состоит в проверке гипотезы значимости индекса детерминации R2.

Рассмотрим процесс проверки гипотезы о значимости индекса детерминации.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости индекса детерминации, т. е.

Н0:R2=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости индекса детерминации, т. е.

Н1:R2≠0.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.

При проверке значимости индекса детерминации критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень значимости, k1=l-1 и k2=n-l – число степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0:R2=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости индекса детерминации отвергается, и он признаётся значимым. Следовательно, полученная модель регрессии также признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл=Fкрит, то основная гипотеза о незначимости индекса детерминации принимается, и он признаётся незначимым. Полученная модель регрессии является незначимой и нуждается в дальнейшей доработке.

Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.

Проверка предположения о возможной линейной зависимости между исследуемыми переменными осуществляется с помощью коэффициента детерминации r2 и индекса детерминации R2.

Выдвигается основная гипотеза Н0 о наличии линейной зависимости между переменными. Альтернативной является гипотеза Н1 о нелинейной зависимости между переменными.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

При проверке гипотезы о линейной зависимости между переменными критическое значение t-критерия определяется как tкрит(а;n-l-1), где а – уровень значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров, (n-l-1) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы Н0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где νR-r – величина ошибки разности (R2-r2), которая определяется по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о линейной зависимости между переменными отвергается. В этом случае построение нелинейной модели регрессии считается целесообразным.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл≤tкрит, то основная гипотеза о линейной зависимости между переменными принимается. Следовательно, взаимосвязь между данными переменными можно аппроксимировать простой линейной формой зависимости.

3.2.3. Проверка выполнения условий для получения «хороших» оценок методом оценивания

Для линеаризуемых моделей, оцененных МНК, предпосылки стандартны для этого метода.

Для нелинейных методов оценивания предпосылки следующие:

Остатки должны быть случайными одинаково распределенными с нулевым математическим ожиданием, т.е. проверяются 3 условия:

1. Случайность остатков

2. M(ε_i)=0

3. Остатки должны быть подчинены одному закону распределения