2014-02-02
1240
Прямое и обратное преобразования Лапласа
Решение линейных стационарных дифференциальных уравнений
Виды операторов
Основа математического обеспечения для решения задач конструирования систем управления
Постановка задачи
Принципы управления
1) Принцип разомкнутого управления:
| u(t) |
| y(t) |
| УУ |
| g(t) |
| Объект |
2) Принцип компенсации возмущения:
| u(t) |
| y(t) |
| УУ |
| g(t) |
| Объект |
3) Принцип обратной связи:
| u(t) |
| y(t) |
| УУ |
| g(t) |
| Объект |
По математическим моделям объекта управления и окружающей среды, критерию, оценивающему качество работы системы, сконструировать математическую модель управления устройством, такую чтобы эта мат. Модель могла бы быть реализована на какой-нибудь элементарной базе.
Под оператором в математике понимается правило, с помощью которого элемент одного функционального множества сопоставляется с элементами другого множества.
В теории управления под операторами понимаются правила, которые сопоставляют элементы одного функционального пространства элементам другого функционального пространства.
|
|
|
| Оператор |
| x(t) |
| y(t) |
1. Безынерционные – y(t) зависит от x(t) в тот же момент времени.
2. Инерционные - y(t) в каждый момент времени зависит от x(t) в тот же и предшествующие моменты времени.
– Линейное стационарное дифференциальное уравнение (линейные комбинации входа и выхода равны).
Если и, то такое уравнение – линейное не стационарное дифференциальное уравнение
– оператор преобразования Лапласа. Из линейного дифференциального уравнения получает алгебраическое уравнение.
Условия, накладываемые на функцию:
1. Функция должна быть тождественно равна нулю, в любой отрицательный момент времени:
2. Интеграл должен сходиться:
– обратное преобразование Лапласа.
| f(t) | F(s) | f(t) | F(s) |
Равенство Парсеваля
Условия применения – интегралы функций должны сходиться:
Предельные соотношения:
Корни характеристического полинома называются полюсами. Корни числителя называются нулями.
Передаточная функция системы есть отношение изображения выхода системы к изображению входа при нулевых начальных условиях.
Предположим, что
Тогда
Если при ограниченном входе системы имеет ограниченный выход, то такая система обладает свойством устойчивости.
Система устойчива, если все полюсы лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один полюс лежит в правой полуплоскости, система будет неустойчивой.
|
|
|
Это объясняется видом функции – все полюса характеристического полинома находятся в степени экспоненты. Если хотя бы один из них имеет положительный знак (лежит в правой полуплоскости), то вся функция при будет стремиться к.
Если же все полюсы имеют отрицательный знак (лежат слева), то вся функция будет стремиться к некоторому установившемуся значению.
