Уравнение линии тока

Уравнение линии тока легко составить, пользуясь такими рассуждениями. Допустим, что в данный момент времени имеем плос­кую линию тока а (рис.2).

Рис.2

Очевидно, уравнение этой линии можно записать так:

y = f(x),

где x и y − координаты точек данной линии.

Непосредственно из рис.2 имеем U_Y/U_X = tg , а дифференцируя уравнение линии тока по x, находим

.

Таким образом, , или

, или ,

что и является уравнением линии тока в дифференциальном виде.

При пространственном движении дифференциальные уравнения линии тока записываются так: ,

или

. (3.10)

Проинтегрировав уравнения (3.10), можно получить уравнение линии тока в конечном виде. Решение этой системы может быть записано в виде двух общих интегралов:

;

,

где С ₁ и С ₂ −произвольные постоянные интегрирования.

Каждый из интегралов представляет в геометрическом отношении семейство поверхностей, зависящих от постоянных С ₁ и С ₂. Линия тока, отвечающая определенным значениям этих постоянных, находится как линия пересечения двух соответствующих поверхностей.

Если внутри движущейся жидкости выделить некоторый замкнутый контур L (рис.3) и через все его точки провести для данного момента времени линии тока, то они образуют поверхность, называемую поверхностью тока. На рис.3 представлена схема струйки в непрерывном потоке.

Рис.3

Часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, получила название трубки тока.

В нестационарном потоке форма трубок тока непрерывно изменяется, поскольку изменяется направление линии тока. Важнейшим свойством трубки тока является непроницаемость её боковой поверхности для движущихся частиц жидкости, что легко понять, если учесть, что эта поверхность образована линиями тока.

Наряду с трубкой тока в гидродинамике пользуются еще понятием струйки. Струйкой называют часть жидкости, ограниченной поверхностью, образованной совокупностью траекторий, проходящих через все точки замкнутого контура. Для стационарного потока понятия трубки тока и элементарной струйки идентичны, так как линии тока и траекторий в этом случае совпадают.

Струйка имеет малую площадь поперечного сечения (в пределе ), которая может меняться по длине.

Совокупность элементарных струек образует поток жидкости.