Рассмотрим два случая: передача теплоты через однородную (однослойную) изотропную плоскую стенку и через многослойную плоскую стенку.
а) Однослойная стенка
Рис. 3. Однослойная плоская стенка. Г.У. I рода.
Дана однородная и изотропная стенка (рис.3) толщиной δ с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, два других размера стенки неограниченны. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянные температуры t1 и t2. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении оси Ox, т.е. температурное поле будет одномерным и
∂t/∂y = ∂t/∂z = 0
Тогда уравнение (24) принимает вид:
(25)
В уравнении (25) частная производная заменена полной, т.к. изменение температуры определяется только одной переменной X. Граничные условия в рассматриваемой задаче запишутся следующим образом:
при
при (26)
Уравнение (25) и условия (26) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.
В результате поставленной задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке, т.е. t = ƒ(x), и получена формула для определения плотности теплового потока.
|
|
Проинтегрируем дважды уравнение (25).
Первое интегрирование дает:
(27)
После второго интегрирования получим:
(28)
Постоянные интегрирования в (28) определяются из граничных условий (26):
при и
при и
Подставляя значения С1 и С2 в уравнение (28), получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке или, иначе, выражение для температурного поля:
(29)
Для определения плотности теплового потока воспользуемся законом Фурье
Учитывая, что
после подстановки dt/dx в выражение закона Фурье, получаем:
(30)
В уравнении (30):
t1 - t2 = Δt - температурный напор;
отношение λ/δ, Вт/м2К- тепловая проводимость стенки;
обратная величина Rc = δ/λ, м2К/ Вт - термическое сопротивление теплопроводности стенки.
Найдя плотность теплового потока, можно вычислить все тепло, которое передается через поверхность стенки F за время τ:
(31)
Если необходимо учитывать, зависимость λ от температуры и известна функция λ = λ(t), то в расчетные уравнения вводится среднеинтегральное значение λср., т.е.
(32)
б) Многослойная плоская стенка
Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из n однородных слоев (рис.4). Заданы толщины слоев δ1, δ2, δ3,..., δn, температуры на внешних поверхностях стенки t1 и tn+1 (в случае 3-слойной стенки t1 и t4), коэффициенты теплопроводности λ1, λ2, λ3,..., λn. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова. Эти температуры t2 ,..., tn неизвестны.
|
|
Рис.4. Многослойная плоская стенка. Г.У. 1 рода.
Т.к. мы рассматриваем стационарный процесс, то плотность теплового потока для всех слоев будет одинакова, и в соответствии с (30) можно записать:
(а)
Из уравнений (а) найдем частные температурные напоры в каждом из слоев:
(б)
Сложив, левые и правые части уравнений (б), получим:
Отсюда
(33)
где Σδi/λi - термическое сопротивление теплопроводности многослойной стенки.
Температуры на границах слоев найдутся из выражений (б)
,
В общем случае (i + 1) – я температура найдется по выражению
(34)
2. Граничные условия III рода.
а) Однослойная стенка
Передача теплоты от одной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их твердую стенку любой форма называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплопередачу от стенки к более холодной среде.
Вначале рассмотрим теплопередачу через однослойную стенку.
Пусть плоская безграничная однослойная стенка имеет толщину δ (рис.5). Задан коэффициент теплопроводности λ. Граничными условиями Ш рода заданы температуры сред tж1 и tж2, а такте коэффициенты теплоотдачи α1 и α2. Величины tж1, tж2, α2, α1 постоянны и не меняются вдоль поверхности, что дает основании считать, что температура меняется только в направлении оси Ох.
При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхности степени t1 и t2.
Рис.5. Однослойная
плоская стенка. Г.У. Ш рода.
При стационарном тепловом режиме плотность теплового потока, передаваемого теплоотдачей, от горячей среды к стенке, равна плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, через стенку и равна плотности теплового потока, передаваемого теплоотдачей, от стенки к нагреваемой среде.
Тогда, используя уравнения (20 и 30), запишем
(35)
Уравнения (35) запишем в виде:
(36)
Просуммировав (36), получим:
()
Отсюда плотность теплового потока, Вт/м2
(37)
Обозначим:
, (38)
К - коэффициент теплопередачи.
Коэффициент теплопередачи К характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус.
С учетом (38) уравнение (37) можно записать в виде
(39)
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется термическим сопротивлением теплопередачи:
(40)
Термическое сопротивление теплопередачи складывается из частных термических сопротивлений:
R1 = 1/α1 - термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидкости к стенке;
Rc = δ/λ- термическое сопротивление теплопроводности стенки;
R2 = 1/α2 - термическое сопротивление теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости.
Если рассматривать теплопередачу через многослойную стенку, имеющую n слоев, то для нее
(41)
Отсюда коэффициент теплопередачи для многослойной стенки:
(42)
Плотность теплового потока для многослойной стенки:
(43)
Таким образом, уравнение (38) является частным случаем уравнения (43) при n = 1.
Тепловой поток Q, Вт, через поверхность F при теплопередаче равен:
(44)
Температуры поверхностей для однослойной стенки найдем из уравнений (36)
,
или
При теплопередаче через многослойную стенку температура на границе i и (i + 1) слоев найдется по уравнению:
(45)
А температура tn+1 при n слоях будет равна:
1.8. Стационарная теплопроводность цилиндрических стенок (qv = 0)