б) Однослойная цилиндрическая стенка
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в однослойной цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1 = 2r1 и наружным диаметром d2 = 2r2 (рис.6).
На поверхностях стенки заданы постоянные температуры t1 и t2. Коэффициент теплопроводности в заданном интервале температур считаем постоянным. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.
Рис.6. Цилиндрическая стенка. Г.У. 1 рода.
В данной задаче дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат. Так как qv = 0 и ∂t/∂τ = 0, то поделив правую и левую часть уравнения (19) на а получим:
(46)
Ось трубы совмещена с осью Оz, т.е. при фиксированном радиусе температура вдоль трубы не изменяется, поэтому
(а)
Кроме того, т.к. температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна, зависеть от угла φ, т.е.
|
|
(б)
Следовательно, t есть функция только r, т.е. температурное поле будет одномерным.
С учетом (а) и (б) уравнение (46) принимает вид:
(47)
Граничные условия:
при
при (48)
Совместное решение (47) и (48) дает уравнение температурного поля в цилиндрической стенке.
Для решения введем новую переменную:
,
тогда , (в)
Подставляя (в) в уравнение (47), получим:
(49)
Домножив левую и правую часть (49) на rdr, запишем
или (г)
Интегрируя (г), получим
(е)
Переходя к первоначальным переменным, перепишем (е) в виде:
или (50)
Разделив переменные и проинтегрировав (50), получим:
(51)
Определим постоянные интегрирования С1 и С2, подставив в уравнение (51) граничные условия:
при , отсюда
при , отсюда (д)
Решение уравнений (д) относительно С1 и С2 дает
,
Подставив значения С1 и С2 в уравнение (51), получим:
или (52)
Выражение (52) представляет собой уравнение логарифмической кривой, т.е. распределение температуры по толщине цилиндрической стенки является криволинейным.
Для нахождения теплового потока, проходящего через цилиндрическую поверхность F, воспользуемся законом Фурье:
Из уравнения (50) значение температурного градиента:
Учитывая, что F = 2πrl, где l - длина трубы, получим
Заменив радиусы на диаметры, запишем:
(53)
Тепловой поток (53) может быть отнесен к единице внутренней поверхности, к единице наружной поверхности или к единице длины трубы.
При этом расчетные формулы для плотности теплового потока принимают вид:
, (54)
где q1, Вт/м2 - плотность теплового потока для внутренней поверхности;
(55)
где q2, Вт/м2 - плотность теплового потока для наружной поверхности;
|
|
, (56)
где ql, Вт/м2 - линейная плотность теплового потока.
Линейная плотность теплового потока ql - это количество тепла, которое проходит в единицу времени через стенку трубы длиной в 1 м в радиальном направлении.
Из уравнений (54) - (56) устанавливается связь между q1, q2 и ql:
(57)
б) Многослойная цилиндрическая стенка
Рассмотрим далее теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку, состоящую из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях соседних слоев одинакова. Заданы температуры на внешних поверхностях t1 и tn+1, коэффициенты теплопроводности и диаметры слоев.
При стационарном тепловом режиме линейная плотность теплового потока ql будет одинаковой для всех слоев, тогда:
, ,…, (е)
Рис.7. Многослойная цилиндрическая стенка. Г.У. I рода.
Из уравнений (е) определим температурные напоры в каждом слое:
(ж)
Сложив уравнения (ж), получим:
Отсюда линейная плотность теплового потока
, (58)
Величина имеет размерность мК/Вт и называется линейным термическим сопротивлением i-го слоя, а величина
называется полным линейным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки. После того, как определена линейная плотность теплового потока, можно найти температуру на границе любых двух слоев:
,
и ti+1 для любого слоя
(59)
Внутри любого слоя температура изменяется по логарифмической кривой. Вычислив температуры на границе любого слоя по уравнению (59), распределение температуры внутри слоя можно найти по уравнению (52).
2.Граничные условия III рода.
а) Однослойная цилиндрическая стенка
Рис.8. Однослойная цилиндрическая стенка. Г.У. III рода.
Рассмотрим однослойную (однородную) цилиндрическую стенку (трубу) с постоянным коэффициентом теплопроводности. Заданы постоянные температуры подвижных сред tж1 и tж2, и постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях стенки α1 и α2. Необходимо найти ql и температуры t1 и t2. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с диаметрами. Тогда потерями теплоты с торцев трубы можно пренебречь и при установившемся тепловом режиме, количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к внутренней поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от наружной поверхности к холодной жидкости будет одно и то же.
Помня, что
можно написать:
(60)
Решаем эти уравнения относительно частных температурных напоров:
(61)
Складывая уравнения (61), получаем:
Отсюда:
(62)
Обозначим
, (63)
Величина Kl называется линейным коэффициентом теплопередачи и имеет размерность, Вт/мК. Она характеризует интенсивность передачи тепла от одной среды к другой через разделяющую их стенку.
Линейный коэффициент теплопередачи численно равен количеству теплоты, которое проходит через стенку трубы длиной I м в единицу времени в радиальном направлении от одной среды к другой при разности температур между ними в один градус.
С учетом (63) уравнение (62) запишется в виде
(64)
Величина Rl=1/kl, мК/Вт, обратная kl, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи:
(65)
где - линейное термическое сопротивление теплоотдачи от греющей среды к стенке;
где - линейное термическое сопротивление теплоотдачи от стенки к нагреваемой среде;
1/2λ*ln(d2/d1) - линейное термическое сопротивление теплопроводности стенки.
При расчете теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку нужно учитывать линейное термическое сопротивление теплопроводности всех слоев. Тогда линейное техническое сопротивление теплопередачи для стенки из n слоев будет равно:
(66)
Отсюда kl для многослойной стенки:
(67)
Линейная плотность теплового потока:
|
|
(68)
Температура на поверхностях однослойной стенки найдем из уравнений (61):
(69)
Температуру t1 можно найти также через температуру второй жидкости tж2:
(70)
В случае многослойной стенки получим:
(71)
А температуру на внешней поверхности многослойной стенки в это случае можно найти также через tж2:
(72)
В технических расчетах, когда толщина стенки трубы мала по сравнению с диаметрами, можно теплопередачу через цилиндрическую стенку считать как через плоскую. Покажем, что это действительно так.
Если тепловой поток через цилиндрическую стенку
отнести к внутренней или наружной поверхности стенки, то получим плотность теплового потока, Вт/м2, отнесенную к единице соответствующей поверхности трубы:
Формулы для К1 и К2, Вт/м2К, в развернутом виде:
(73)
(74)
Величину ln(d2/d1)разложим в ряд:
Вели отношение d2/d1→1, то такой ряд быстро сходится, и c достаточной точностью можно ограничиться первым членом ряда:
(75)
где δ - толщина стенки трубы, (м).
Подставив (75) и условие d2/d1≈ d1/d2 ≈ 1 уравнения (73) и (74), получим:
(76)
Т.е. получили выражение коэффициента теплопередачи для плоской стенки (см. уравнение 38).
Следовательно, если стенка трубы тонкая, то при практических расчетах можно тепловой поток находить по формуле
, (77)
где К, находится по формуле (76)
Обычно в инженерных расчетах при d2/d1≤1,8 пользуются формулой (77).
Для уменьшения погрешности в качестве расчетной поверхности в (77), берут поверхность, со стороны которой α меньше:
если α1>>α2, то d=d2;
если α2<< α1, то d=d1.
если , то d=