Необходимое и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной

Из теоремы Ферма следует, что если х = х₀ точкаэкстремума, то производная в этой точке равна нулю

f ^/(x₀) =0.

Следует также отметить, что, иногда, в точке экстремума функция может быть недифференцируемой, т.е. в этой точке производная не существует.

· Необходимое условие существования экстремума функции: если х = х₀ - точка экстремума, то f ^/(x₀) =0 или f ^/(x₀) не существует.

Точки, в которых f ^/(x₀) обращается в нуль или не существует, называется критическими.

· Достаточное условие существования экстремума функции: если функция y=f(x) непрерывна в точке х = х₀ и ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки, и производная при переходе через точку х = х₀ меняет свой знак, то функция имеет экстремум при х = х_0.

При этом х = х₀ - точка максимума, если знак меняется с «+» на «-», и х = х₀ - точка минимума, если знак меняется с «-» на «+».