Пример 7: По данным табл. 5.7 определите модальное и медианное значения тарифного разряда.
Таблица 5.7
Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду
Тарифный разряд, x | Численность рабочих, чел., f |
Мо = 5 | 60 – наибольшая частота |
Всего: |
Мо = 5, так как f = 60 – наибольшая частота.
Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят порядковый номер медианной единицы ряда:
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95-м и 96-м рабочими. Определим, какой тарифный разряд имеют рабочие с этими порядковыми номерами.
Второй тарифный разряд имеют рабочие с порядковыми номерами с 1 по 12;
третий – с 13 по 12+48=60;
четвертый – с 61 по 60+56=116.
Следовательно, рабочие с порядковыми номерами 95 и 96 имеют четвертый тарифный разряд: Ме = 4.
2) Определение моды и медианы в интервальном ряду требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:
|
|
,
где – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
– длина модального интервала;
– частота модального интервала;
– частота интервала, предшествующего модальному;
– частота интервала, следующего за модальным.
,
где – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого равна или превышает полусумму всех частот ряда);
– длина медианного интервала;
– частота медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
Пример 8: По данным табл. 5.8 определите модальное и медианное значения стоимости основных производственных фондов (ОПФ).
Таблица 5.8
Распределение малых предприятий региона по стоимости
основных производственных фондов (ОПФ) в 1996 г.
Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб. x | 14–16 | 16–18 | 18–20 | 20–22 | 22–24 | Итого |
Число предприятий, ед. f | ||||||
Накопленная частота, ед. S | х |
Так как f =10 – наибольшая частота, то интервал (18–20) модальный.
млн руб.
Большинство малых предприятий региона имеют стоимость ОПФ, равную 18,8 млн руб.
S = 18 > значит (18–20) – медианный интервал.
млн руб.
Половина малых предприятий региона имеют стоимость ОПФ меньше 18,9 млн руб., а половина – больше этого значения.
Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значения признака у единиц, делящих ряд на 4, 10, 100 равных частей. Эти величины называются соответственно «квартили», «децили» и «перцентили».
Децили
|
|
d1 d2 Me d9
Q1 Q3
Р а н ж и р о в а н н а я с о в о к у п н о с т ь
Медиана
Квартили
Рис. 1. Расположение структурных средних в статистической совокупности
Квартили – значения признака, делящие ранжированную совокупность на 4 равные части (на рис. 1 это точки Q1, Me и Q3).
, ,
где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);
– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);
– длина интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;
– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;
– частота интервала, содержащего нижний квартиль;
– частота интервала, содержащего верхний квартиль.
Децилем называется структурная переменная, которая делит распределение на 10 равных частей по 10% единиц в каждой части. Децилей – девять, децильных групп – десять.
Децили вычисляются по той же схеме:
, и т. д.
Анализ вариационного ряда дополняется расчетом показателя дифференциации.
По ряду распределения определяется коэффициент децильной дифференциации:
.
Он показывает, во сколько раз наименьший уровень признака из 10% единиц, имеющих наибольший уровень признака, больше наибольшего уровня признака, из 10% единиц совокупности, имеющих наименьший уровень признака. Применяется для характеристики дифференциации населения по уровню дохода.
По первичным данным определяется коэффициент фондовой дифференциации:
,
где – среднее значение признака в 10-й децильной группе;
– среднее значение признака в 1-й децильной группе.