3. Интегрирование оригинала
Интегрированию интеграла в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.
4. Смещение аргумента оригинала
, при этом
, если
.
Смещению аргумента оригинала на соответствует умножение изображения на
.
5. Смещение аргумента изображения
Смещению аргумента изображения на соответствует умножение оригинала
.
6. Умножение изображений (теория свертывания)
Операция называется сверткой.
Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений.
Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа, выполняемого с использованием формулы обращения:
где С – абсцисса абсолютной сходимости, выбирается так, чтобы все полюсы подынтегральной функции находились слева от нее (рис. 28). Всегда должно быть С > s0. На рис. 28 ´ – полюсы функции-изображения.
Обозначение обратного преобразования Лапласа осуществляется символом L-1 или 1/L.
.
Непосредственное использование формулы обращения вызывает значительные сложности. Для упрощения обратного перехода используются таблицы, приводимые в справочниках, и специальные приемы.
|
|
Так, если функция-изображение является дробной функцией: , то при выполнении обратного преобразования Лапласа применимо разложение Хевисайда. Пусть функция
имеет m полюсов
(корней уравнения B(p)=0), тогда
Пример. Выше мы получили для постоянной величины
Осуществим обратное преобразование Лапласа, используя разложение Хевисайда. В этом случае A(p)=A, B(p)=p, pk=0, m=1,
, следовательно,
В результате обратного преобразования с использованием разложения Хевисайда получена постоянная величина А, что и следовало ожидать.