Примеры. В разделах дифференциального и интегрального исчислений мы имеем дело с функциями одного переменного

В разделах дифференциального и интегрального исчислений мы имеем дело с функциями одного переменного. На практике часто приходится иметь дело с функциями двух, трех и большего числа переменных. Такие функции называются функциями многих переменных. Примером такой функции является производственная функция Кобба-Дугласа

где есть величина выпуска продукции, а и обозначают объемы затраченных ресурсов труда и капитала соответственно.

Приведем еще примеры функций и переменных:

2. -мерное пространство Rⁿ

Определение. Пусть . Будем называть R ⁿ следующее множество упорядоченных наборов действительных чисел:

Сами упорядоченные наборы будем называть точками , а числа , где , будем называть координатами этой точки.

Часто для удобства точки Rⁿ будем обозначать так: или или или и т. д.

В пространстве Rⁿ вводится расстояние между точками по формуле

(1)

Замечание. При и равенство (1) представляет известные формулы расстояния между точками на плоскости и в пространстве.

Приведем без доказательства основные свойства расстояния в Rⁿ:

1)

2)

3)

Замечание. Пространство Rⁿ можно рассматривать и как векторное пространство. В этом случае упорядоченный набор чисел называется вектором пространства Rⁿ. Векторы обычно обозначают строчными латинскими буквами: или , или другими буквами. Нулевым вектором называют вектор

В векторном пространстве Rⁿ вводятся операции сложения векторов и умножение векторов на число. Пусть и Тогда

1)

2)

Векторное пространство Rⁿ с операциями сложения и умножения на число называют также линейными или евклидовым пространством.

Определение. Длиной или нормой вектора называется число

Для нормы вектора справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

Определение. Скалярным произведением векторов и называют выражение

Не трудно доказать следующие свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

Определение. Пусть Функцией переменных называется отображенные Значение функции записывается в виде

где

При этом множество называется областью определения функции и обозначается

Замечание. Функцию n переменных можно записывать в привычном виде где