В общем случае дифференциальное уравнение n -ого порядка имеет вид
или .
Теорема 7.2 о существовании и единственности решения.
Если в дифференциальном уравнении функция и ее частные производные
являются непрерывными в некоторой области D, то для любой точки , принадлежащей этой области, существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
.
Если условия данной теоремы выполняются, то геометрически решение дифференциального уравнения n -ого порядка представляет кривую, проходящую через точку в направлении .
7. 10. Дифференциальное уравнение вида
Уравнение данного вида решается путем повторного интегрирования n раз.
Интегрируем уравнение
Þ
;
;
.
Аналогично можно получить
,
……………………………………………………………………
.
Пример 7.16. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях .
Находим . Подставим , получим .
.
Находим =.
Подставим начальные значения в полученное равенство, найдем значение . Þ .
Таким образом, общее решение
|
|
,
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
.